Треугольник

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя сторонами и тремя углами.

Основные элементы треугольника

• Углы: сумма внутренних углов треугольника всегда равна: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

• Стороны: три отрезка, соединяющие вершины треугольника.

• Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

• Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

• Биссектриса — отрезок, делящий угол пополам.

Виды треугольников

По углам:

• Остроугольный — все углы меньше $90^\circ$
• Прямоугольный — один угол $= 90^\circ$
• Тупоугольный — один угол $> 90^\circ$

По сторонам:

• Равнобедренный — две стороны равны: $AB = AC$

• Равносторонний — все стороны и углы равны: $AB = BC = CA,\quad \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$

• Разносторонний — все стороны разной длины

Свойства треугольников

1. Сумма углов: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

2. Внешний угол: $\text{Внешний угол} = \text{сумма двух несмежных внутренних углов}$

3. Против большей стороны лежит больший угол.

Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника)

Если $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты: $c^2 = a^2 + b^2$

Пример: $a = 3,\ b = 4 \Rightarrow c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5$

Площадь треугольника

1. Через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

2. Формула Герона (если известны все стороны):

Пусть $a, b, c$ — стороны, тогда: $p = \frac{a + b + c}{2}$ $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Неравенство треугольника

Треугольник можно построить, только если: $a + b > c , a + c > b ,b + c > a$

Примеры

1 Найти третий угол:

Если $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 80^\circ$, то: $\gamma = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 40^\circ$

2 Площадь по высоте:

Если $a = 6$, $h = 4$, то: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$