Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одна из самых фундаментальных теорем в геометрии. Она устанавливает связь между сторонами прямоугольного треугольника.

• Прямоугольный треугольник: Треугольник, у которого один из углов равен $90^\circ$.
• Гипотенуза: Самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла.
• Катеты: Две стороны, образующие прямой угол.

Формула теоремы: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. $c^2 = a^2 + b^2$ Где:

• $c$ — длина гипотенузы
• $a$ и $b$ — длины катетов

Пример: Если катеты $a=3$ и $b=4$, найдем гипотенузу: $c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ $c = \sqrt{25} = 5$

Синус, косинус, тангенс острого угла

Тригонометрия изучает соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике.

Для острого угла $\angle \alpha$ в прямоугольном треугольнике:

• Синус $(\sin \alpha)$: Отношение противолежащего катета к гипотенузе. $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
• Косинус $(\cos \alpha)$: Отношение прилежащего катета к гипотенузе. $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
• Тангенс $(\tan \alpha)$: Отношение противолежащего катета к прилежащему. $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Решение прямоугольных треугольников

Решить прямоугольный треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы, если даны две стороны или одна сторона и один острый угол.

• Даны два катета $(a, b)$:

• Гипотенуза: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

• Острые углы: $\tan A = \frac{a}{b}$ и $B = 90^\circ - A$.

• Даны гипотенуза и катет $(c, a)$:

• Второй катет: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

• Острые углы: $\sin A = \frac{a}{c}$ и $B = 90^\circ - A$.

• Даны гипотенуза и острый угол $(c, A)$:

• Второй острый угол: $B = 90^\circ - A$.

• Катеты: $a = c \sin A$ и $b = c \cos A$.