Закон электромагнитной индукции

Суть закона (формулировка)

Изменение магнитного потока через замкнутый контур вызывает индуцированную ЭДС (и ток при наличии проводимости). Количественно это описывается законом Фарадея–Ленца.

Магнитный поток

Магнитный поток — это поток магнитного поля через поверхность. Для однородного поля через площадку $S$ под углом $\alpha$ к вектору $\mathbf{B}$: $\Phi = B\,S\,\cos\alpha$. В общем виде (через поверхность, натянутую на контур): $\Phi = \int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$, где $B=|\mathbf{B}|$, $d\mathbf{S}$ — вектор площадки (нормаль по правилу правого винта).

Закон Фарадея (ЭДС индукции)

Закон Фарадея описывает ЭДС индукции. Для одного витка: $\varepsilon = -\,\frac{d\Phi}{dt}$. Для катушки из $N$ одинаковых витков: $\varepsilon = -\,N\,\frac{d\Phi}{dt}$. Знак «минус» реализует правило Ленца: индуцированный ток направлен так, чтобы противодействовать изменению потока, которое его породило.

Ориентации и знак

Выбор положительного направления обхода контура и направления нормали к $d\mathbf{S}$ согласуют правилом правого винта. При таком согласовании формула со знаком «минус» однозначна.

Интегральная и дифференциальная формы (полевая запись)

• Интегральная форма (для неподвижного контура): $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\,\frac{d\Phi}{dt}$.
• Дифференциальная форма (уравнение Максвелла–Фарадея): $\nabla\times\mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$.

Индуцированное электрическое поле в целом вихревое (неконсервативное): по замкнутому контуру циркуляция $\,\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\ne 0$ при $\partial\mathbf{B}/\partial t\ne 0$.

Механизмы изменения потока $\Phi$

1. Изменение $B(t)$ (ввод/вывод сердечника, изменение тока в первичной катушке).
2. Изменение площади $S(t)$ (растяжение/сжатие рамки).
3. Изменение ориентации, то есть угла $\alpha(t)$ (поворот рамки).
4. Движение проводника в магнитном поле (моторая ЭДС).

Движущиеся проводники (моторая ЭДС)

• Общая формула для движущегося контура: $\varepsilon = \oint (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$.
• Частный случай: стержень длины $\ell$ скользит на рельсах в однородном поле $\mathbf{B}$, скорость $\mathbf{v}\perp\mathbf{B}$ и стержню: $\varepsilon = B\,\ell\,v$.
• Ток в замкнутом контуре сопротивления $R$: $I=\frac{\varepsilon}{R}$.

Примеры применения

Пример:

• Вращающаяся рамка (идея генератора): для рамки площади $S$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ в однородном поле, $\Phi(t)=B\,S\,\cos(\omega t),\qquad \varepsilon(t)=N\,B\,S\,\omega\,\sin(\omega t)$.
• Трансформатор (идеально): $\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}=\frac{N_2}{N_1}$ при общем магнитном потоке и малых потерь.

Энергетика (откуда энергия тока)

Мощность, выделяемая в нагрузке: $P=\varepsilon\,I=\frac{\varepsilon^2}{R}=I^2R$. Эта энергия поступает от источника изменения потока: механической работы (в скользящем стержне), работы первичной цепи (в трансформаторе), и т.д.

Вихревые токи (токи Фуко)

Переменное $\mathbf{B}(t)$ в массивном проводнике индуцирует замкнутые токи, вызывая нагрев и создавая поле, противодействующее исходному. Уменьшают потери ламинированием сердечников, выбором высокоомных магнитомягких материалов.

Типичные ошибки

• Опускать знак «минус» (терять правило Ленца).
• Подставлять $\Phi=BS$ без множителя $\cos\alpha$.
• Забывать фактор $N$ для катушек.
• Путать индуцированное вихревое поле с электростатическим (у последнего $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$).
• Игнорировать вклад движения проводника: для движущихся контуров важен член $(\mathbf{v}\times\mathbf{B})$.

Ключевые формулы (сводка)

$\Phi=\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},\qquad \Phi= B\,S\,\cos\alpha$

$\varepsilon=-\,\frac{d\Phi}{dt},\qquad \varepsilon=-\,N\,\frac{d\Phi}{dt}$

$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\,\frac{d\Phi}{dt},\qquad \nabla\times\mathbf{E}=-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

$\varepsilon=\oint (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l},\qquad \varepsilon=B\,\ell\,v,\qquad I=\frac{\varepsilon}{R}$

$\Phi(t)=B\,S\,\cos(\omega t),\qquad \varepsilon(t)=N\,B\,S\,\omega\,\sin(\omega t)$

$\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}=\frac{N_2}{N_1}$