Числовые неравенства и их свойства

Что такое числовое неравенство?

Неравенство — это выражение, показывающее, что одно число больше или меньше другого.

Пример: $3 < 7$, $5 \ge 5$, $-2 > -5$.

Решение неравенств

Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно верно.

Пример: Решим: $x + 4 < 10$. Вычтем 4: $x < 6$. Ответ: все числа меньше 6.

Свойства числовых неравенств

Свойство 1: Одно и то же число можно прибавить или вычесть с обеих сторон

Если: $a < b$, то: $a + c < b + c$ и $a - c < b - c$.

Свойство 2: Умножение или деление на положительное число

Если $c > 0$ и $a < b$, то: $a \cdot c < b \cdot c$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Свойство 3: Умножение или деление на отрицательное число

Знак неравенства меняется на противоположный! Если $c < 0$ и $a < b$, то: $a \cdot c > b \cdot c$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

Системы неравенств

Система неравенств — это несколько неравенств, решаемых одновременно.

Пример: Решим: $2 < x \le 5$. Ответ: все $x$ от 2 (не включая) до 5 (включая).

Объединение решений

Иногда неравенства объединяются по типу: $x < -1$ или $x > 3$. Это означает, что решения берутся из двух интервалов.

Кратко

• Прибавление/вычитание — $a < b \Rightarrow a + c < b + c$.
• Умножение на положительное число — $a < b,\ c > 0 \Rightarrow ac < bc$.
• Умножение на отрицательное число — $a < b,\ c < 0 \Rightarrow ac > bc$.
• Система неравенств — $a < x < b$ — промежуток между $a$ и $b$.