Числа простые и составные

Простые и составные числа

Простые числа — натуральные числа, которые имеют только два делителя: 1 и само число. Первое и единственное чётное простое число — это 2. Остальные простые числа — нечётные: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Важно: 1 — не является простым числом, так как у него только один делитель.

Составные числа — натуральные числа, имеющие более двух делителей. Например: 4 (делители 1, 2, 4), 6 (делители 1, 2, 3, 6), 8, 9, 10, 12 и т.д.

Разложение на простые множители

Каждое натуральное число больше 1 можно единственным образом (с точностью до порядка множителей) разложить на произведение простых чисел.

Пример: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = $2^2$ × 3 × 5. Это основа для вычисления НОД и НОК.

Делитель и кратное

Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Пример: 5 — делитель 20, потому что 20 ÷ 5 = 4.

Кратное числа — это число, которое делится на заданное число без остатка. Пример: 20 — кратное 5, потому что 20 = 5 × 4.

Признаки делимости

• 2 — последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
• 3 — сумма цифр делится на 3.
• 4 — две последние цифры делятся на 4.
• 5 — последняя цифра — 0 или 5.
• 6 — делится на 2 и на 3 одновременно.
• 9 — сумма цифр делится на 9.
• 10 — последняя цифра — 0.

НОД (наибольший общий делитель)

Наибольшее число, на которое одновременно делятся два или более чисел.

Как находить:

1. Разложить оба числа на простые множители.
2. Взять общие множители с минимальными степенями.
3. Перемножить их.

Пример: 12 = $2^2$ × 3, 18 = 2 × $3^2$. НОД(12, 18) = 2 × 3 = 6.

НОК (наименьшее общее кратное)

Наименьшее число, которое одновременно делится на оба числа.

Как находить:

1. Разложить оба числа на простые множители.
2. Взять все множители с максимальными степенями.
3. Перемножить их.

Пример: 6 = 2 × 3, 8 = $2^3$. НОК(6, 8) = $2^3$ × 3 = 24.

Полезные советы

• Если числа взаимно просты (НОД = 1), то НОК = их произведение.
• Удобно использовать разложение на простые множители и таблицу признаков делимости.