Рациональные числа и свойства арифметических действий

Что такое рациональные числа?

Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, а $n \ne 0$.

Примеры рациональных чисел: целые: $-3$, $0$, $5$ (можно записать как $\dfrac{-3}{1}$, $\dfrac{0}{1}$, $\dfrac{5}{1}$). Дробные: $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{7}{4}$, $\dfrac{5}{3}$. Десятичные: $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$, $-1{,}2 = -\dfrac{6}{5}$.

Числа, которые нельзя представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем (например, $\sqrt{2}$ и $\pi$), не являются рациональными.

Запись рациональных чисел

Рациональное число можно записать:

• в виде обыкновенной дроби: $\dfrac{3}{5}$, $-\dfrac{11}{4}$.
• в виде десятичной дроби: $0{,}6$, $-2{,}75$.
• в виде смешанного числа: $2 \dfrac{1}{3}$ (это $\dfrac{7}{3}$).

Замечание: Одно и то же рациональное число можно записать разными дробями: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}$.

Сравнение рациональных чисел

1. На числовой прямой большее число расположено правее меньшего.
2. Для положительных дробей с одинаковым знаменателем: если $a > b$, то $\dfrac{a}{n} > \dfrac{b}{n}$.
3. Для положительных дробей с одинаковым числителем: если $b_1 < b_2$, то $\dfrac{a}{b_1} > \dfrac{a}{b_2}$ (меньший знаменатель — большее число).

Арифметические действия с рациональными числами

Сложение и вычитание

Одинаковые знаменатели:

$\dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n} = \dfrac{a + b}{n}$

$\dfrac{a}{n} - \dfrac{b}{n} = \dfrac{a - b}{n}$

Разные знаменатели:

1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Выполнить сложение или вычитание.

Правило знаков:

• $a + (-b) = a - b$
• $a - b = a + (-b)$

Умножение

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$, где $b \ne 0$ и $d \ne 0$.

Правило знаков при умножении:

• $+$ на $+$ даёт $+$
• $-$ на $-$ даёт $+$
• $+$ на $-$ (или наоборот) даёт $-$

Примеры: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$. $-\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{7} = -\dfrac{6}{35}$.

Деление

Деление заменяют умножением на обратное число:

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$, где $b \ne 0$, $c \ne 0$, $d \ne 0$.

Пример: $\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$.

Свойства арифметических действий (тождественные свойства)

Для любых рациональных чисел $a$, $b$, $c$ выполняются:

Переместительное (коммутативное) свойство

Сложение: $a + b = b + a$

Умножение: $ab = ba$

Сочетательное (ассоциативное) свойство

Сложение: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Умножение: $(ab)c = a(bc)$

Распределительное свойство

$a(b + c) = ab + ac$

$a(b - c) = ab - ac$

Нулевой и единичный элементы

• Ноль: $a + 0 = a$, $a - 0 = a$
• Единица: $a \cdot 1 = a$

Противоположное и обратное число

• Для любого рационального $a$ существует противоположное число $-a$: $a + (-a) = 0$.
• Для любого ненулевого рационального $a$ существует обратное число $\dfrac{1}{a}$: $a \cdot \dfrac{1}{a} = 1$ при $a \ne 0$.