Иррациональные выражения

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Арифметический корень

Корень n-й степени из числа a — это такое число, которое в степени n даёт a: $\sqrt[n]{a}$.

Арифметический корень — это только неотрицательный результат (по определению).

Пример: $\sqrt{9} = 3$, а НЕ $-3$.

Свойства квадратного корня

(при $a \ge 0,\ b \ge 0$)

1. Корень из произведения: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
2. Корень из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\ b \ne 0$.
3. $(\sqrt{a})^2 = a$.
4. $\sqrt{a^2} = |a|$ — обязательно модуль, потому что корень не может быть отрицательным.

Сокращение и преобразование корней

Примеры: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Рационализация знаменателя

Избавляемся от корня внизу.

Пример: $\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

ПРИМЕРЫ

Пример 1: $\sqrt{49} = 7$. Пример 2: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. Пример 3: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$. Пример 4: $\sqrt{a^2} = |a|$, например: $\sqrt{(-5)^2} = 5$.