Тождественные преобразования алгебраических выражений

Что такое тождественное преобразование?

Тождественное преобразование — это преобразование выражения, при котором оно не меняет своего значения при любых допустимых значениях переменных.

Примеры тождественных преобразований: $(x + 2) + (x - 1) = 2x + 1$. $2(x + 3) = 2x + 6$. $3x + 5x = 8x$.

Свойства тождеств

1. Переместительное свойство: $a + b = b + a$. $ab = ba$.

2. Сочетательное свойство: $(a + b) + c = a + (b + c)$. $(ab)c = a(bc)$.

3. Распределительное свойство: $a(b + c) = ab + ac$.

Выражения с модулем

Определение модуля числа.

Модулем числа $a$ называется число $|a|$, которое равно:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$.
• $|a| = -a$, если $a < 0$.

То есть модуль показывает расстояние числа $a$ от нуля на числовой прямой.

Свойства модуля

$|a| \ge 0$

$|-a| = |a|$

$|ab| = |a| \cdot |b|$

$\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$ при $b \ne 0$

$|a + b| \le |a| + |b|$ — неравенство треугольника

$|a - b| \ge \big||a| - |b|\big|$

Раскрытие модуля

Чтобы раскрыть модуль, нужно учитывать знак выражения под модулем.

Пример: $|x - 3|$: если $x \ge 3$, то $|x - 3| = x - 3$. если $x < 3$, то $|x - 3| = 3 - x$.

Примеры

$|5 - 7| = |-2| = 2$. $|x| = x$, если $x \ge 0$. $|x^2 - 4x + 4| = |(x - 2)^2| = (x - 2)^2$, так как $(x - 2)^2 \ge 0$ при любых $x$.