Алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь — это выражение в виде дроби, числитель и/или знаменатель которой являются алгебраическими выражениями (многочленами).

Примеры: -$\frac{x}{x + 1}$ -$\frac{2a^2b}{3ab^2}$ -$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Основные действия с алгебраическими дробями

Сокращение дробей

Если в числителе и знаменателе есть общий множитель, его можно сократить:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$

Обязательно проверять, что выражения, на которые вы сокращаете, не равны нулю.

Умножение дробей

Чтобы перемножить две алгебраические дроби, нужно перемножить числители и знаменатели:

$\frac{2a}{3b} \cdot \frac{3b}{4a} = \frac{6ab}{12ab} = \frac{1}{2}$

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить на обратную ко второй:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Сложение и вычитание

Приводим дроби к общему знаменателю, затем складываем (или вычитаем) числители:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) + x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}$

Свойства степени с целым показателем

1.$a^0 = 1$ 2.$a^1 = a$ 3.$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 4.$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$ 5.$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ 6.$(a^m)^n = a^{mn}$ 7.$(ab)^n = a^n b^n$ 8.$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Для отрицательных показателей: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Типичные преобразования

-$\frac{a^2b}{ab^2} = \frac{a}{b}$ -$\left(\frac{x^2}{y^3}\right)^2 = \frac{x^4}{y^6}$ -$\frac{x^3y}{xy^2} = \frac{x^2}{y}$