Свойства арифметического квадратного корня

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$: $\sqrt{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = a,\ b \geq 0$.

Пример: $\sqrt{25} = 5$. $\sqrt{0} = 0$.

Основные свойства квадратных корней

1. $\sqrt{a^2} = |a|$ (корень всегда неотрицателен).
2. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, если $a \geq 0, b \geq 0$.
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, если $b > 0$.
4. $\sqrt{a^2b} = |a| \sqrt{b}$.
5. $(\sqrt{a})^2 = a$.
6. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Преобразование корней

Примеры: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. $\sqrt{12x^2} = \sqrt{4x^2 \cdot 3} = 2x\sqrt{3}$.

Рационализация знаменателя

Если в знаменателе дроби содержится корень, его можно "избавить" с помощью умножения на сопряжённое или используя:

• $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$
• $\frac{1}{\sqrt{a} + b} = \frac{\sqrt{a} - b}{a - b^2}$

Когда корень не существует

Если подкоренное выражение отрицательно: $\sqrt{-4}$ — не определено в множестве действительных чисел.

Важные преобразования

Примеры: $\sqrt{16} = 4$. $\sqrt{x^2} = |x|$. $\sqrt{(a + b)^2} = |a + b|$.