Многочлены

Что такое многочлен?

Многочлен — выражение вида:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$

где:

• $x$ — переменная,
• $a_i$ — коэффициенты,
• $n$ — степень (целое неотрицательное число).

Примеры: $2x^2 + 3x - 5$. $x^3 - 4x$. $7$ — многочлен нулевой степени.

Основные действия с многочленами

1. Сложение и вычитание: складываются (или вычитаются) одноимённые члены: $(3x^2 + 2x) + (x^2 - x) = 4x^2 + x$.
2. Умножение: применяется распределительное свойство: $(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$.
3. Деление: обычно делим на одночлен (в ОРТ — только такие задачи).

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Разложение многочлена на множители

Основные приёмы:

• Вынесение общего множителя: $3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$.
• Формулы сокращённого умножения: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
• Группировка: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.