Логарифмы, их свойства

Определение логарифма

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$, где $a > 0$, $(a \neq 1$, $b > 0)$, называют такое число $x$, что:

$\log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b$

Основные логарифмические тождества

• $\log_a a = 1$
• $\log_a 1 = 0$
• $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a x^n = n \log_a x$
• $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$
• $a^{\log_a x} = x$

Формула смены основания

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Наиболее часто используется:

$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$

Показательные выражения

Показательная функция: $y = a^x, \quad a > 0,\ a \neq 1$

Обратная ей функция — логарифмическая: $x = \log_a y$

Тождественные преобразования

• $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$
• $(a^m)^n = a^{mn}$
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• $\log_a a^x = x$
• $\log_a \left( \sqrt[n]{x} \right) = \frac{1}{n} \log_a x$

Примеры

Пример: $\log_2 8 = 3 \quad \text{так как } 2^3 = 8$. $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$. $\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$. $\log_2 \left( \frac{8}{4} \right) = \log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1$.

Условия существования логарифма

Для выражения $\log_a b$:

• $a > 0$, $a \neq 1$
• $b > 0$