Графики элементарных функций и их свойства

Что такое график функции?

График функции — это множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, для которых выполнено равенство $y = f(x)$.

Основные элементарные функции и их графики

Линейная функция

$f(x) = kx + b$

• График — прямая.
• $k$ — угловой коэффициент (наклон), $b$ — сдвиг по оси $y$.
• Если $k > 0$ — возрастает, если $k < 0$ — убывает.

Квадратичная функция

$f(x) = ax^2 + bx + c$

• График — парабола.
• Ветви вверх, если $a > 0$, вниз — если $a < 0$.
• Вершина параболы: $x = -\frac{b}{2a}$

Обратная пропорциональность

$f(x) = \frac{1}{x}$

• График — гипербола.
• Область определения: $x \ne 0$
• Симметричен относительно начала координат.

Корневая функция

$f(x) = \sqrt{x}$

• График — полупарабола только при $(x \ge 0)$.
• Область определения: $x \ge 0$
• Монотонно возрастает.

Модуль

$f(x) = |x|$

• График — "галочка".
• $f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
• Симметрия относительно оси $y$.

Кубическая функция

$f(x) = x^3$

• Область определения: $\mathbb{R}$
• Возрастает на всей области.
• Симметричен относительно начала координат.

Показательная функция

$f(x) = a^x,\ a > 0,\ a \ne 1$

-Область определения:$\mathbb{R}$ -Область значений:$(0;+\infty)$ -Возрастает, если $a > 1$, убывает, если $0 < a < 1$

Логарифмическая функция

$f(x) = \log_a{x},\ a > 0,\ a \ne 1$

-Область определения:$(0; +\infty)$ -Область значений: $\mathbb{R}$ -Обратная к показательной функции.

Свойства графиков:

• Область определения (D(f)) — все допустимые $x$
• Область значений (E(f)) — возможные значения $y$
• Монотонность — возрастает или убывает
• Чётность/нечётность:
• Чётная:$f(-x) = f(x)$ (симметрия относительно оси y)
• Нечётная: $f(-x) = -f(x)$ (симметрия относительно начала координат)
• Асимптоты — линии, к которым приближается график