Функция

Что такое функция?

Функция — это правило, по которому каждому значению переменной $x$ (из множества области определения) соответствует единственное значение переменной $y$.

Пример: $y = f(x)$

Область определения функции

Это все значения $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл (существует).

Пример: $f(x) = \frac{1}{x}$ ⟶ $x \ne 0$; $f(x) = \sqrt{x - 2}$ ⟶ $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.

Способы задания функции

1. Формулой: $f(x) = 2x + 1$.
2. Таблицей значений: $x = -1, 0, 1$ ⟶ $y = -1, 1, 3$.
3. Графиком: График функции — это множество всех точек $(x, y)$, где $y = f(x)$.
4. Словесным описанием: Например: «Каждому числу ставим в соответствие его квадрат».

Зависимая и независимая переменные

• Независимая переменная: $x$.
• Зависимая переменная: $y$ значение зависит от $x$.

Примеры функций

• Линейная: $f(x) = 2x + 3$.
• Квадратичная: $f(x) = x^2 - 4x + 5$.
• Дробная: $f(x) = \frac{1}{x + 1}$.
• Корневая: $f(x) = \sqrt{x}$.

Условия существования функции

1. Деление на 0 — нельзя: $\frac{1}{x - 3}$ ⟶ $x \ne 3$.
2. Чётный корень из отрицательного — нельзя: $\sqrt{x - 5}$ ⟶ $x \ge 5$.
3. Логарифм от неположительного числа — нельзя: $\log(x - 2)$ ⟶ $x > 2$.