Неравенства и их свойства

Что такое неравенство?

Неравенство — это выражение, показывающее порядок между двумя числами или переменными.

Примеры: $a > b$. $x + 3 \leq 5$. $2x - 1 \geq x + 4$.

Виды неравенств

1. Линейные неравенства: переменная в первой степени.

Пример: $2x - 3 < 7$.

2. Квадратные неравенства: переменная во второй степени.

Пример: $x^2 - 4x + 3 > 0$.

3. Рациональные неравенства: переменная находится в знаменателе.

Пример: $\frac{1}{x - 2} > 0$.

Основные свойства неравенств

1. Сложение и вычитание: Если $a < b$, то $a + c < b + c$.
2. Умножение или деление на положительное число: $a < b \Rightarrow ac < bc \text{ (если } c > 0\text{)}$.
3. Умножение или деление на отрицательное число: $a < b \Rightarrow ac > bc \text{ (если } c < 0\text{)}$. Знак меняется на противоположный!
4. Транзитивность: Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$.

Решение линейных неравенств

Пример: $2x - 4 < 10$. Решаем как уравнение: $2x < 14 \Rightarrow x < 7$.

Решение квадратных неравенств

1. Найди корни квадратного уравнения: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2, 3$.
2. Построй числовую прямую и определи знаки по интервалам.
3. Запиши ответ: Например, $x^2 - 5x + 6 < 0 \Rightarrow x \in (2; 3)$.

Решение рациональных неравенств

1. Найди нули числителя и знаменателя.
2. Построй таблицу знаков.
3. Учти ОДЗ (деление на 0 запрещено).
4. Запиши ответ по интервалам.

Интервальный метод

Используется для рациональных и квадратных неравенств.

1. Найти критические точки (нули числителя и знаменателя).
2. Разбить числовую прямую на интервалы.
3. Определить знак выражения на каждом интервале.
4. Отобрать интервалы, удовлетворяющие условию.

Графический метод

• Построить график функции и определить области, где она выше/ниже оси X.
• Особенно полезен для сложных выражений.