Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Определение

Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения вида:

$a_1x + b_1y = c_1$ $a_2x + b_2y = c_2$

Где $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — числа, $x$ и $y$ — переменные.

Цель решения

Найти такие значения $x$ и $y$, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

Методы решения

Метод подстановки

1. Выразите одну переменную через другую из одного уравнения.
2. Подставьте это выражение в другое уравнение.
3. Найдите значение одной переменной.
4. Подставьте найденное значение и найдите вторую переменную.

Пример: $x + y = 5$ $2x - y = 4$ Из первого уравнения: $x = 5 - y$ Подставим во второе: $2(5 - y) - y = 4$ Получаем: $10 - 2y - y = 4 \Rightarrow 10 - 3y = 4 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$ Тогда: $x = 5 - y = 5 - 2 = 3$ Ответ: $(x; y) = (3; 2)$.

Метод сложения (или вычитания)

1. Приведите уравнения к такому виду, чтобы при сложении или вычитании одна из переменных сократилась.
2. Сложите или вычтите уравнения.
3. Найдите оставшуюся переменную.
4. Подставьте её значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.

Пример: $x + y = 5$ $x - y = 1$ Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 + 1$ $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ Подставим $x = 3$ в первое уравнение: $3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$ Ответ: $(x; y) = (3; 2)$.

Графический метод

1. Преобразуйте каждое уравнение к виду $y = kx + b$.
2. Постройте графики обоих уравнений (две прямые) на координатной плоскости.
3. Точка пересечения прямых — это решение системы. Её координаты $(x; y)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Возможные случаи

1. Одно решение — прямые пересекаются в одной точке.
2. Бесконечно много решений — прямые совпадают (одно и то же уравнение, записанное по-разному).
3. Нет решений — прямые параллельны и не пересекаются.

Условие совместности и определённости системы

Рассмотрим систему:

$a_1x + b_1y = c_1$ $a_2x + b_2y = c_2$

• Если $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ — система имеет одно решение (прямые пересекаются в одной точке).
• Если $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ — система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).
• Если $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$, но $\dfrac{c_1}{c_2}$ при этом не равно этим дробям — система не имеет решений (прямые параллельны).