Логарифмалар жана алардын касиеттери

Логарифмдин аныктамасы

Логарифм — бул даража көрсөткүчүн табуу амалы. $a^x = b$ теңдемесинде $x$ ти табуу. Белгилениши: $\log_a b = x$. Мааниси: Бул, $a$ негизиндеги $b$ санынын логарифми $x$ ке барабар дегенди билдирет. Мында: $a$ — логарифмдин негизи $(a>0, a\ne1)$, $b$ — логарифмдин астындагы туюнтма $(b>0)$.

Мисал: $\log_2 8 = 3$, анткени $2^3 = 8$. Мисал: $\log_{10} 100 = 2$, анткени $10^2 = 100$.

Логарифмдин негизги касиеттери

Логарифмдер менен иштөө үчүн төмөнкү касиеттерди билүү зарыл.

• Логарифмдин негизги теңдештиги: $a^{\log_a b} = b$

Мисал: $3^{\log_3 9} = 9$

• Бирдин логарифми: $\log_a 1 = 0$, анткени $a^0 = 1$.

Мисал: $\log_5 1 = 0$

• Негиздин логарифми: $\log_a a = 1$, анткени $a^1 = a$.

Мисал: $\log_7 7 = 1$

• Көбөйтүндүнүн логарифми: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Мисал: $\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$

• Тийиндинин логарифми: $\log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$

Мисал: $\log_3 (\frac{81}{3}) = \log_3 81 - \log_3 3 = 4 - 1 = 3$

• Даражанын логарифми: $\log_a x^p = p \log_a x$

Мисал: $\log_5 25^3 = 3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$

• Негизди алмаштыруу формуласы: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Мисал: $\log_4 64 = \frac{\log_2 64}{\log_2 4} = \frac{6}{2} = 3$

Логарифмалык жана көрсөткүчтүү туюнтманы өзгөртүп түзүү

Көрсөткүчтүү туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү

Бул үчүн даражанын касиеттери колдонулат:

Мисал: $2^{x+3} \cdot 4^x = 2^{x+3} \cdot (2^2)^x = 2^{x+3} \cdot 2^{2x} = 2^{x+3+2x} = 2^{3x+3}$. Мисал: $\frac{9^x}{3^{x-1}} = \frac{(3^2)^x}{3^{x-1}} = \frac{3^{2x}}{3^{x-1}} = 3^{2x-(x-1)} = 3^{2x-x+1} = 3^{x+1}$.

Логарифмалык туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү

Бул үчүн логарифмдин касиеттери колдонулат.

Мисал: $\log_6 18 + \log_6 2 = \log_6 (18 \cdot 2) = \log_6 36 = 2$. Мисал: $\log_5 50 - \log_5 2 = \log_5 (\frac{50}{2}) = \log_5 25 = 2$. Мисал: $2\log_4 8 = \log_4 8^2 = \log_4 64 = 3$, анткени $4^3 = 64$. Мисал: $\log_{10} 1000$ туюнтмасын жөнөкөйлөтүү: $\log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3 \log_{10} 10 = 3 \cdot 1 = 3$.

Логарифмалык жана көрсөткүчтүү форманы алмаштыруу

Логарифмалык туюнтманы көрсөткүчтүү туюнтмага, же тескерисинче, айландыруу көп учурда теңдемелерди чечүүдө жардам берет.

Мисал: Логарифмалык формадан көрсөткүчтүү формага: $\log_3 x = 4 \implies x = 3^4 = 81$. Мисал: Көрсөткүчтүү формадан логарифмалык формага: $5^x = 25 \implies x = \log_5 25 = 2$.