Үч бурчтук

Үч бурчтук — үч жагы жана үч бурчу бар геометриялык фигура.

Үч бурчтуктун негизги элементтери:

• Бурчтары: үч бурчтун ички бурчтарынын суммасы ар дайым: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

• Жактары: ар бир үч бурчтуктун үч жактары болот.

• Бийиктик: бурчтан каршы жаткан тарапка түшүрүлгөн тик сызык.

• Бөлүүчү (медиана): бурчтан каршы жаткан тарапты экиге бөлөт.

• Биссектриса: бурчту экиге бөлөт.

Үч бурчтуктардын түрлөрү

Бурчтары боюнча:

• Тар бурчтуу үч бурчтук — бардык бурчтары $< 90^\circ$
• Тик бурчтуу үч бурчтук — бир бурчу $= 90^\circ$
• Кен бурчтуу үч бурчтук — бир бурчу $> 90^\circ$

Тараптары боюнча:

• Тең капталдуу үч бурчтук — эки жагы тең: $AB = AC$
• Тең жактуу үч бурчтук — бардык жактары жана бурчтары тең: $AB = BC = CA,\quad \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$
• Кадырсыз үч бурчтук — бардык жактары ар башка

Үч бурчтуктун касиеттери

1. Ички бурчтардын суммасы:

2. Тышкы бурч — ички бурчка кошуна бурч: $\text{Тышкы бурч} = \text{эки башка ички бурчтардын суммасы}$

3. Эң узун жак ар дайым эң чоң бурчту карайт.

Пифагор теоремасы (туура бурчтуу үч бурчтук үчүн):

Эгер $c$ — гипотенуза, ал эми $a$ жана $b$ — катет болсо: $c^2 = a^2 + b^2$

Мисал: Эгер $a = 3$, $b = 4$, анда: $c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5$

Үч бурчтуктун аянты

1. Негиз жана бийиктик аркылуу: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{негиз} \cdot \text{бийиктик}$

2. Герон формуласы (бардык жактар белгилүү болгондо):

Эгер $a, b, c$ — тараптар, $p$ — жарым периметр: $p = \frac{a + b + c}{2}$ $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Үч бурчтук түзүү эрежеси (Үч бурчтук теңдемеси)

Үч бурчтук түзүлүшү үчүн ар бир эки тараптын суммасы үчүнчү тараптан чоң болушу керек: $a + b > c ,a + c > b ,b + c > a$

Мисалдар

1 Бурчтарды табуу: Эгер эки бурч белгилүү болсо, үчүнчү бурч: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

2 Аянтты табуу: Эгер $a = 6$, $h = 4$ (бийиктик), анда: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$