Иррационалдык туюнтмалар

Иррационалдык туюнтмалар

Иррационалдык туюнтма — бул тамыр белгисинин $(\sqrt{}$, $\sqrt[n]{})$ астында өзгөрмөсү бар туюнтма.

Мисалдар: $\sqrt{x+2}$, $\sqrt[3]{a^2-1}$, $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Иррационалдык туюнтма мааниге ээ болушу үчүн тамырдын астындагы туюнтма терс эмес болушу керек (жуп даражадагы тамыр үчүн).

Мисалы, $\sqrt{x-5}$ туюнтмасы үчүн $x-5 \ge 0$, демек $x \ge 5$.

Арифметикалык тамыр

Арифметикалык квадраттык тамыр — терс эмес сандан терс эмес сандын квадраты боло турган сан.

• Белгилениши: $\sqrt{a}$
• Аныктама: Эгерде $a \ge 0$ болсо, анда $\sqrt{a}=b$ деп айтабыз, мында $b \ge 0$ жана $b^2=a$.

Мисалы: $\sqrt{25}=5$, анткени $5^2=25$ жана $5 \ge 0$. Ката эмес: $\sqrt{25} \ne -5$, анткени $-5 < 0$.

n-даражадагы арифметикалык тамыр — бул n-даражасы a-га барабар болгон терс эмес сан.

• Белгилениши: $\sqrt[n]{a}$
• Аныктама: Эгерде $a \ge 0$ болсо, анда $\sqrt[n]{a}=b$ деп айтабыз, мында $b \ge 0$ жана $b^n=a$.
• Эгер $n$ жуп болсо: $a \ge 0$ болушу керек.

Мисал: $\sqrt[4]{16}=2$, анткени $2^4=16$.

• Эгер $n$ так болсо: $a$ каалаган сан боло алат.

Мисал: $\sqrt[3]{-8}=-2$, анткени $(-2)^3=-8$.

Тамыр менен арифметикалык амалдарды жүргүзүү

Көбөйтүү жана бөлүү

• Тамырдын көбөйтүндүсү: $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$

Мисал: $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.

• Тамырдын тийиндиси: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ $(b \ne 0)$

Мисал: $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5$.

Тамырдын касиеттери

• Тамырдын даражасы менен тамыр астындагы сандын даражасы бирдей болсо:
• $\sqrt[n]{a^n} = a$ (эгер $n$ так болсо).
• $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ (эгер $n$ жуп болсо).

Мисалдар: $\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$, бирок $\sqrt[2]{(-5)^2} = |-5| = 5$.

• Тамырды даражага көтөрүү: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$

Мисал: $(\sqrt{3})^2 = \sqrt{3^2} = 3$.

Тамырдан көбөйтүүчүнү чыгаруу

Тамырдын астындагы санды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратып, даражасы тамырдын даражасына барабар болгон көбөйтүүчүлөрдү тамырдан чыгарууга болот.

• Эреже: $\sqrt[n]{a^n b} = a\sqrt[n]{b}$

Мисал: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}$. Мисал: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$.

Бөлчөктүн бөлүмүн иррационалдуулуктан бошотуу

Бөлчөктүн бөлүмүндөгү иррационалдык туюнтмадан арылуу.

• Жалпы учур: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$

Мисал: $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

• Кошмо туюнтмалар: $\frac{a}{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}$ түрүндөгү туюнтмалар үчүн алымын жана бөлүмүн $\sqrt{b} \mp \sqrt{c}$ туюнтмасына көбөйтөбүз.

Мисал: $\frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{1(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.