Индуктивность

Понятие индуктивности

• Индуктивность — коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током.
• Потокосцепление одного контура: $\Psi=N\,\Phi$ где $N$ — число витков, $\Phi$ — магнитный поток через один виток.
• В линейной среде (когда $B\propto H$) для данного контура: $\Psi=L\,I$ $L=\frac{\Psi}{I}$
• Единица индуктивности в СИ — генри (H).

Самоиндукция и ЭДС самоиндукции

• При изменении тока $I(t)$ в контуре меняется $\Psi(t)$ и возникает ЭДС самоиндукции: $\varepsilon_L=-\,\frac{d\Psi}{dt}$ $\varepsilon_L=-\,L\,\frac{dI}{dt}$
• Знак «минус» отражает противодействие изменению тока (правило Ленца).

Взаимная индуктивность (две катушки)

• Потокосцепление второй катушки из-за тока в первой: $\Psi_2=M\,I_1$
• Индуцированная ЭДС во второй: $\varepsilon_2=-\,M\,\frac{dI_1}{dt}$
• Коэффициент связи: $k=\frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}},\qquad 0\le k\le 1$

Энергия магнитного поля тока

• Мощность, которую источник вкладывает в поле индуктора: $P=\varepsilon_L\,I$
• С учётом $\varepsilon_L=-L\,\dfrac{dI}{dt}$ и знаков, запасённая в поле энергия: $U_L=\frac{1}{2}\,L\,I^2$
• При изменении тока от $I_1$ к $I_2$: $\Delta U_L=\frac{1}{2}L\left(I_2^2-I_1^2\right)$

Плотность энергии магнитного поля

• В линейной изотропной среде: $u_B=\frac{B^2}{2\mu}$
• В общем виде (линейная среда): $u_B=\frac{1}{2}\,B\,H$
• Полная энергия через объём: $U=\int u_B\,dV$

Типовые формулы для индуктивности

• Длинный соленоид (длина $l$, площадь сечения $S$, витков $N$, магнитная проницаемость $\mu$): $L=\frac{\mu\,N^2\,S}{l}$
• Тороид (средний радиус $r_m$, площадь сечения $S$, витков $N$): $L=\frac{\mu\,N^2\,S}{2\pi r_m}$
• Равномерно намотанный соленоид: $N=n\,l$ (плотность витков $n$): $L=\mu\,n^2\,S\,l$
• Связь с полем внутри длинного соленоида: $B=\mu\,n\,I$

Примечание: формулы приближённы; конечная длина, зазоры, распределение витков и насыщение магнитопровода изменяют $L$.

Переменный ток (кратко)

• Для синусоидального тока $I(t)$ реактивное сопротивление индуктора: $X_L=\omega L$
• Напряжение на идеальной катушке опережает ток по фазе на $\pi/2$.

Типичные ошибки

• Путать поток $\Phi$ с потокосцеплением $\Psi=N\Phi$.
• Забывать фактор $N^2$ в $L$ для много витков.
• Игнорировать зависимость $L$ от сердечника: $\mu=\mu_0\mu_r$.
• Использовать $U_L=L\,I^2$ вместо правильной $\tfrac12 L I^2$.

Ключевые формулы (сводка)

$\Psi=N\,\Phi$

$\Psi=L\,I$

$L=\frac{\Psi}{I}$

$\varepsilon_L=-\,\frac{d\Psi}{dt}$

$\varepsilon_L=-\,L\,\frac{dI}{dt}$

$U_L=\frac{1}{2}\,L\,I^2$

$u_B=\frac{B^2}{2\mu}$

$u_B=\frac{1}{2}\,B\,H$

$U=\int u_B\,dV$

$L_{\text{solenoid}}=\frac{\mu\,N^2\,S}{l}$

$L_{\text{toroid}}=\frac{\mu\,N^2\,S}{2\pi r_m}$

$B=\mu\,n\,I$

$X_L=\omega L$