Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре. Превращение энергии в контуре

Контур состоит из конденсатора ёмкости $C$ и катушки индуктивности $L$ , соединённых без потерь (нет сопротивления и излучения).
Пусть $q(t)$ — заряд на конденсаторе (на одной обкладке), $i(t)=\dfrac{dq}{dt}$ — ток в цепи.
Напряжения на элементах:
Конденсатор: $u_C=\dfrac{q}{C}$ .
Катушка: $u_L=L\,\dfrac{di}{dt}$ .
По закону Кирхгофа (сумма падений напряжений равна нулю для замкнутого контура): $L\,\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0.$ Подставляя $i=\dfrac{dq}{dt}$ , получаем уравнение гармонического осциллятора: $\frac{d^2 q}{dt^2}+\omega_0^2\,q=0,\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}.$

Общее решение для заряда: $q(t)=Q_0\cos\!\big(\omega_0 t+\varphi_0\big).$
Ток — производная заряда: $i(t)=\frac{dq}{dt}=-\,\omega_0 Q_0\,\sin\!\big(\omega_0 t+\varphi_0\big).$
Период и частота свободных колебаний: $T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{L C},\qquad f=\frac{1}{2\pi\sqrt{L C}}.$
Напряжение на конденсаторе: $u_C(t)=\frac{q(t)}{C}=\frac{Q_0}{C}\cos\!\big(\omega_0 t+\varphi_0\big).$
Напряжение на катушке (с учётом знака реакции по Кирхгофу): $u_L(t)=L\,\frac{di}{dt}=L\big(-\omega_0^2 Q_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)\big)=-\,\frac{Q_0}{C}\cos\!\big(\omega_0 t+\varphi_0\big),$ и в идеальном LC выполняется $u_L+u_C=0$ в каждый момент времени.

Электрическая (в конденсаторе): $U_C(t)=\frac{q^2(t)}{2C}.$
Магнитная (в катушке): $U_L(t)=\frac{L\,i^2(t)}{2}.$
В идеальном LC полная энергия постоянна: $U=U_C(t)+U_L(t)=\text{const}.$ Она периодически «перетекает» между электрической и магнитной формами:
Когда $|q|$ максимум, $i=0$ ⇒ $U=U_C$ , $U_L=0$ .
Когда $q=0$ , $|i|$ максимум ⇒ $U=U_L$ , $U_C=0$ .
Средние за период энергии равны: $\langle U_C\rangle=\langle U_L\rangle=\frac{U}{2}.$

Зарядовый: $q(0)=Q_0$ , $i(0)=0$ — вся энергия изначально в $U_C(0)=\dfrac{Q_0^2}{2C}$ .
Токовый: $q(0)=0$ , $i(0)=I_0$ — вся энергия изначально в $U_L(0)=\dfrac{L I_0^2}{2}$ .

С учётом сопротивления $R$ получаем: $\frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}\,q=0.$
В режиме слабото затухающих колебаний ( $R<2\sqrt{L/C}$ ) решение: $q(t)=Q_0\,e^{-\gamma t}\cos\!\big(\omega t+\varphi_0\big),\qquad \gamma=\frac{R}{2L},\quad \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.$
Амплитуды $q$ и $i$ убывают экспоненциально; энергия убывает как $e^{-2\gamma t}$ вследствие потерь в $R$ (и возможного излучения).
Коэффициент добротности: $Q=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=2\pi\,\frac{\text{энергия, запасённая}}{\text{потери за период}}.$

Уравнение $q''+\omega_0^2 q=0$ — полный аналог колебаний массы-пружины $x''+\Omega^2 x=0$ . Соответствия: $q\leftrightarrow x$ , $1/C\leftrightarrow k$ , $L\leftrightarrow m$ , $R\leftrightarrow$ вязкое трение.

Частота свободных колебаний идеального LC не зависит от амплитуды (линейная система).
На практике потери всегда присутствуют (сопротивления проводников, диэлектрические потери, излучение), поэтому свободные колебания затухают.
Малый контур с током переменной частоты может излучать электромагнитные волны с частотой около $f$ контура.

$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}},\qquad T=2\pi\sqrt{L C},\qquad f=\frac{1}{2\pi\sqrt{L C}}$

$q(t)=Q_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0),\qquad i(t)=-\,\omega_0 Q_0\sin(\omega_0 t+\varphi_0)$

$U_C(t)=\frac{q^2}{2C},\qquad U_L(t)=\frac{L i^2}{2},\qquad U=U_C+U_L=\text{const}$

$q''+\frac{R}{L}q'+\frac{1}{LC}q=0,\qquad \gamma=\frac{R}{2L},\qquad \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$

$Q=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$