Период свободных колебаний

Определение

Период свободных колебаний — это время одного полного цикла системы, совершающей колебания без внешних воздействий и без потерь (идеально). Обозначение: $T$. Связан с угловой частотой $\,\omega\,$ и частотой $\,f\,$ соотношениями $T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi f.$

В линейных колебательных системах уравнение движения имеет вид гармонического осциллятора: $x''+\omega_0^2 x=0,$ где $\,\omega_0\,$ — собственная угловая частота, а период собственных (свободных) колебаний $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}.$

Примеры колебательных систем и их период

a) Механическая пружинная система (масса–пружина)

Пример: Для массы $m$ на пружине жёсткости $k$: $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.$

b) Маятник малых колебаний (математический маятник)

Пример: Для длины нити $\ell$ при малых углах: $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$ (При больших амплитудах период слегка увеличивается — линейное приближение нарушается.)

c) Электрический LC-контур

Пример: Для индуктивности $L$ и ёмкости $C$: $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{L C}.$

Энергетическая интерпретация

В идеальной системе полная энергия сохраняется и периодически переходит между двумя формами:

• Механика: между кинетической и потенциальной энергией пружины.
• Электрический контур: между электрической энергией конденсатора и магнитной энергией катушки.

Именно эта «перекачка» энергии задаёт естественный темп — собственную частоту $\,\omega_0\,$ и период $\,T_0$.

Влияние потерь (слабое затухание)

Реальные системы имеют потери. Для слабозатухающего RLC или пружинного осциллятора с вязким трением: $x''+2\gamma\,x'+\omega_0^2 x=0,\qquad \gamma>0.$ Фактическая угловая частота колебаний $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\approx \omega_0\!\left(1-\frac{1}{2}\frac{\gamma^2}{\omega_0^2}\right)$ и период немного увеличивается: $T=\frac{2\pi}{\omega}\approx T_0\!\left(1+\frac{1}{2}\frac{\gamma^2}{\omega_0^2}\right).$ При больших потерях колебаний нет (апериодический режим).

Зависимость периода от параметров (масштабные выводы)

• Увеличение «инерционного» параметра (например, $m$ или $L$) увеличивает период: $T_0\propto\sqrt{m}$, $T_0\propto\sqrt{L}$.
• Увеличение «упругого» параметра (например, $k$ или $1/C$) уменьшает период: $T_0\propto 1/\sqrt{k}$, $T_0\propto\sqrt{C}$.
• В линейных моделях $T_0$ не зависит от амплитуды (в пределах применимости линейной теории).

Практические замечания

• В LC-контурах $T_0$ стабилизируют применением элементов с малым температурным дрейфом $L$ и $C$.
• В механике $\,T_0\,$ маятника зависит от $\,\ell\,$ и $\,g$; изменение места (широты/высоты) меняет $g$ и немного меняет период.
• Для неидеальных маятников и больших амплитуд используют поправки к периоду, как и для контуров с потерями — поправки к $\,\omega$.

Ключевые формулы (сводка)

$T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi f$

$x''+\omega_0^2 x=0,\qquad T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$

$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$

$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}},\qquad T_0=2\pi\sqrt{L C}$

$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\approx \omega_0\!\left(1-\tfrac12\frac{\gamma^2}{\omega_0^2}\right),\qquad T\approx T_0\!\left(1+\tfrac12\frac{\gamma^2}{\omega_0^2}\right)$