Уравнения силы тока и напряжения в цепи переменного тока

Синусоидальные сигналы: определения

Мгновенные значения: $u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi_u),\qquad i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi_i)$, где $U_m,I_m$ — амплитуды, $\omega=2\pi f$ — угловая частота.

Действенные (RMS) значения: $U=\frac{U_m}{\sqrt{2}},\qquad I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Сдвиг фаз: $\varphi=\varphi_u-\varphi_i$

Уравнения на элементах (временная область)

Резистор: $u_R(t)=R\,i(t)$

Индуктивность: $u_L(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}$

Конденсатор: $i_C(t)=C\,\frac{du_C(t)}{dt}$

Эти соотношения + законы Кирхгофа дают дифференциальные уравнения цепей переменного тока.

Гармонический режим: фазоры и импедансы

Представление: $u(t)=\Re\{\hat U e^{j\omega t}\},\qquad i(t)=\Re\{\hat I e^{j\omega t}\}$

Комплексные импедансы: $Z_R=R,\qquad Z_L=j\omega L,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\,j\frac{1}{\omega C}$

Связь фазоров: $\hat U=\hat I\,Z,\qquad \hat I=\frac{\hat U}{Z}$

Чистые элементы (синусоидальная установившаяся реакция)

Резистор: $i(t)=\frac{U_m}{R}\cos(\omega t+\varphi_u),\quad \varphi=0$

Индуктивность: $i(t)=\frac{U_m}{\omega L}\cos\!\left(\omega t+\varphi_u-\frac{\pi}{2}\right),\quad \varphi_u-\varphi_i=+\frac{\pi}{2}$

Конденсатор: $i(t)=U_m\,\omega C\,\cos\!\left(\omega t+\varphi_u+\frac{\pi}{2}\right),\quad \varphi_u-\varphi_i=-\frac{\pi}{2}$

Последовательная $R$–$L$–$C$ цепь

Комплексный импеданс: $Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$

Модуль и угол: $|Z|=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2},\qquad \phi=\arg Z=\arctan\!\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}$

Ток (установившийся): $i(t)=I_m\cos(\omega t-\phi),\qquad I_m=\frac{U_m}{|Z|}$

Резонанс тока (серийный): при $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ реактивная часть $Z$ равна нулю, $|Z|=R$.

Параллельная $R$–$L$–$C$ цепь

Адмиттанс: $Y=\frac{1}{Z}=G+jB,\qquad G=\frac{1}{R},\quad B=\omega C-\frac{1}{\omega L}$

Ток: $\hat I=Y\,\hat U,\qquad I_m=\frac{U_m}{|Z|}=U_m\,|Y|$

Резонанс напряжений (параллельный): при $B=0$ ток минимален, напряжение на ветвях велико (идеал).

Законы Кирхгофа в гармоническом режиме (фазорная форма)

Контур: $\sum \hat U_k=0$

Узел: $\sum \hat I_k=0$

Суммирование комплексных величин учитывает амплитуды и фазы.

Мощность в синусоидальном режиме

Мгновенная: $p(t)=u(t)\,i(t)$

Действующая, реактивная, полная (через RMS и сдвиг фаз $\varphi$): $P=U I\cos\varphi,\qquad Q=U I\sin\varphi,\qquad S=U I$

Комплексная мощность: $\hat S=P+jQ=U\,I^*$

Пример: Для чистых $L$ и $C$: $P=0$, энергия колеблется между полями (реактивная).

Примеры дифференциальных уравнений

• Последовательный $R$–$L$–$C$ с источником $u_s(t)$: $L\frac{di}{dt}+R\,i+\frac{1}{C}\int i\,dt=u_s(t)$ или в виде по $q(t)$ с $i=dq/dt$: $L\,\frac{d^2 q}{dt^2}+R\,\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=u_s(t)$
• Параллельный $R$–$L$–$C$ с источником тока $i_s(t)$ (по напряжению $u$): $C\frac{du}{dt}+\frac{u}{R}+\frac{1}{L}\int u\,dt=i_s(t)$

Действенные значения и формулы расчёта

Для гармоник удобно считать в RMS: $U=\frac{U_m}{\sqrt{2}},\quad I=\frac{I_m}{\sqrt{2}},\quad P=U I\cos\varphi$

Закон Ома в комплексной форме: $\hat U=\hat I\,Z,\qquad Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$

Ключевые формулы (сводка)

$u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi_u),\quad i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi_i),\quad U=\frac{U_m}{\sqrt{2}},\ I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}$

$u_R=R\,i,\quad u_L=L\,\frac{di}{dt},\quad i_C=C\,\frac{du_C}{dt}$

$Z_R=R,\quad Z_L=j\omega L,\quad Z_C=\frac{1}{j\omega C},\quad \hat U=\hat I\,Z$

$Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right),\quad |Z|=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2},\quad \phi=\arctan\!\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}$

$Y=\frac{1}{Z}=G+jB,\quad G=\frac{1}{R},\quad B=\omega C-\frac{1}{\omega L}$

$P=U I\cos\varphi,\quad Q=U I\sin\varphi,\quad \hat S=U\,I^*$

$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}$