Волновые явления

Определение и ключевая идея

Волна — процесс распространения колебаний в пространстве с переносом энергии и импульса без переноса вещества в целом. Любая волна описывается функцией смещения (или другой возмущаемой величины) точки среды от равновесия: $\xi(x,t)$.

Бегущая гармоническая волна (1D)

Типовой вид вдоль оси $x$: $\xi(x,t)=A\cos\!\big(kx-\omega t+\varphi_0\big)$.

Связи параметров: $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $\omega=2\pi f$, $v=\frac{\omega}{k}$.

Здесь $A$ — амплитуда, $\lambda$ — длина волны, $f$ — частота, $\omega$ — циклическая частота, $k$ — волновое число, $v$ — фазовая скорость.

Фаза, фронты и принцип Гюйгенса

Фаза колебаний: $\phi(x,t)=kx-\omega t+\varphi_0$.

Волновой фронт — геометрическое место точек с одинаковой фазой; в однородной среде фронты движутся со скоростью $v$.

Принцип Гюйгенса: каждый элемент фронта — источник элементарных волн; новый фронт — огибающая этих волн.

Волновое уравнение (1D) и общее решение

Для идеальной однородной среды: $\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}$.

Общее решение (форма д’Аламбера): $\xi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$, где $f$ и $g$ — произвольные два профиля, бегущие вправо и влево.

Отражение и преломление (смена среды/границы)

При переходе в среду с иной скоростью $v$ частота сохраняется, меняется длина волны: $\lambda_2=\frac{v_2}{f}$.

На жёсткой границе отражение сопровождается сдвигом фазы $\pi$, на свободной — без инверсии (качественно).

Суперпозиция, интерференция, биения

Принцип суперпозиции (линейные среды): суммарное возмущение — алгебраическая сумма отдельных волн.

Интерференция двух когерентных волн: максимумы при разности хода $\Delta r=m\lambda$, минимумы при $\Delta r=(m+\tfrac12)\lambda$.

Биения при близких частотах $f_1$ и $f_2$: $f_b=|f_1-f_2|$.

Стоячая волна

Сумма двух одинаковых встречных гармоник: $\xi(x,t)=2A\cos(kx)\cos(\omega t)$.

Узлы через шаг $\lambda/2$. Для отрезка длины $L$ с фиксированными краями: $L=n\,\frac{\lambda}{2}$.

Энергия, мощность и интенсивность

Средняя мощность переноса вдоль струны (качественно): пропорциональна $A^2$, $\omega^2$ и $v$.

Интенсивность (мощность на единицу площади фронта): $I\propto A^2$.

Для точечного источника в 3D: $I\propto \frac{1}{r^2}$.

Дисперсия, фазовая и групповая скорости

Фазовая скорость: $v_p=\frac{\omega}{k}$.

Групповая скорость (скорость переноса огибающей/энергии при пакетах): $v_g=\frac{d\omega}{dk}$.

В недиспергирующей среде $\omega\propto k$, тогда $v_p=v_g=\text{const}$.

Примеры механических волн

Волны на струне (поперечные), звуковые в газах/жидкостях/твёрдых телах (продольные), поверхностные волны на воде (смешанные).

Ключевые формулы (сводка)

$\xi(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi_0)$

$k=\frac{2\pi}{\lambda},\quad \omega=2\pi f,\quad v=\frac{\omega}{k}$

$\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}$

$\xi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

$\lambda_2=\frac{v_2}{f}$

$f_b=|f_1-f_2|$

$\xi(x,t)=2A\cos(kx)\cos(\omega t)$

$L=n\,\frac{\lambda}{2}$

$I\propto A^2,\quad I\propto \frac{1}{r^2}$

$v_p=\frac{\omega}{k},\quad v_g=\frac{d\omega}{dk}$