Классификация волн (кратко)
По природе среды: механические (струна, звук, сейсмика), электромагнитные (радио, свет), квантовые (де-Бройля).По направлению смещения относительно распространения: Поперечные — смещение перпендикулярно направлению распространения.Продольные — смещение параллельно направлению распространения.По геометрии фронта: 1D (по струне), 2D (по поверхности воды), 3D (в объёме газа).По спектру: монохроматические (гармонические) и импульсные (пакеты).По дисперсии: недиспергирующие и диспергирующие (когда v v v f f f k k k По типу распространения: бегущие и стоячие.
Поперечная волна: идея и примеры
Определение: вектор смещения u ⃗ \vec{u} u перпендикулярен вектору волнового числа k ⃗ \vec{k} k
Примеры: волны на струне, поперечные упругие волны в твёрдых телах (S-волны), электромагнитные волны (в них векторы E ⃗ \vec{E} E B ⃗ \vec{B} B
Образование: Взмахнуть конец струны вверх-вниз — поперечный импульс «побежит» по струне.
Пластина/мембрана, возмущаемая перпендикулярно своей поверхности.
Поляризация: возможна (набор направлений поперечного смещения). Для струны — фиксирована поперечным направлением; для света — линейная/круговая/эллиптическая.
Волновые модели (механика)
Струна с натяжением T T T μ \mu μ v = T μ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} v = μ T
Поперечная упругая волна в твёрдом теле (сдвиговая): v T = G ρ v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho}} v T = ρ G G G G ρ \rho ρ
Продольная волна: идея и примеры
Определение: u ⃗ \vec{u} u параллелен k ⃗ \vec{k} k сжатия и разрежения .
Примеры: звуковые волны в газах/жидкостях, продольные упругие волны в твёрдых телах (P-волны), «пружинка-слинки», толчок по ряду шариков Ньютона.
Образование: Быстро толкнуть/потянуть витки пружины вдоль её оси — пойдёт волна сжатий/разрежений.
Мембрана динамика толкает воздух — формируется звуковая волна.
Волновые модели (акустика и упругость)
Газ (адиабатическое приближение, индекс γ \gamma γ v = γ p ρ = γ R T M v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} v = ρ γ p = M γ R T
Жидкость (объёмный модуль K K K v = K ρ v=\sqrt{\frac{K}{\rho}} v = ρ K
Твёрдое тело (продольная волна): v L = K + 4 3 G ρ v_L=\sqrt{\frac{K+\tfrac{4}{3}G}{\rho}} v L = ρ K + 3 4 G
Общие описания и уравнения
Гармоническая бегущая волна (1D) для любой компонентной величины ξ \xi ξ ξ ( x , t ) = A cos ( k x − ω t + φ 0 ) \xi(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi_0) ξ ( x , t ) = A cos ( k x − ω t + φ 0 ) k = 2 π λ k=\frac{2\pi}{\lambda} k = λ 2 π ω = 2 π f \omega=2\pi f ω = 2 π f v = ω k v=\frac{\omega}{k} v = k ω
Волновое уравнение (1D, однородная недиспергирующая среда): ∂ 2 ξ ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 ξ ∂ t 2 \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} ∂ x 2 ∂ 2 ξ = v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 ξ
Энергия, импульс, интенсивность
Поток энергии пропорционален A 2 A^2 A 2 Z = ρ v Z=\rho v Z = ρ v
Интенсивность сферической волны убывает как 1 / r 2 1/r^2 1/ r 2
Что влияет на поперечность/продольность
Наличие сопротивления сдвигу: в жидкостях и газах G ≈ 0 G\approx0 G ≈ 0 G > 0 G>0 G > 0 v T v_T v T v L v_L v L Тип сил: натяжение струны поддерживает поперечные возмущения; сжимаемость среды — продольные.
Типичные ошибки
Путать направление переноса энергии с траекторией частиц: при волне частицы колеблются около равновесия.
Считать, что в газах могут идти поперечные упругие волны как в твёрдых телах — нет (нет упругости к сдвигу при низких частотах).
Путать «поперечность»/«продольность» с формой фронта (плоский/сферический — это геометрия, не тип колебаний).
Ключевые формулы (сводка)
v = ω k , k = 2 π λ , ω = 2 π f v=\frac{\omega}{k},\quad k=\frac{2\pi}{\lambda},\ \omega=2\pi f v = k ω , k = λ 2 π , ω = 2 π f
v = T μ ( струна ) , v T = G ρ ( поперечная в твёрдом ) v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad(\text{струна}),\qquad v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho}}\quad(\text{поперечная в твёрдом}) v = μ T ( струна ) , v T = ρ G ( поперечная в твёрдом )
v = γ p ρ = γ R T M ( газ ) , v = K ρ ( жидкость ) v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\quad(\text{газ}),\qquad v=\sqrt{\frac{K}{\rho}}\quad(\text{жидкость}) v = ρ γ p = M γ R T ( газ ) , v = ρ K ( жидкость )
v L = K + 4 3 G ρ ( продольная в твёрдом ) v_L=\sqrt{\frac{K+\tfrac{4}{3}G}{\rho}}\quad(\text{продольная в твёрдом}) v L = ρ K + 3 4 G ( продольная в твёрдом )
ξ ( x , t ) = A cos ( k x − ω t + φ 0 ) , ∂ 2 ξ ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 ξ ∂ t 2 \xi(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi_0),\qquad \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} ξ ( x , t ) = A cos ( k x − ω t + φ 0 ) , ∂ x 2 ∂ 2 ξ = v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 ξ
