Длина волны, скорость распространения волн

Длина волны и скорость распространения волн

Определения

• Длина волны — расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковой фазе (например, между пиками). Обозначение: $\lambda$.
• Период колебаний: $T$; частота: $f=\dfrac{1}{T}$; круговая частота: $\omega=2\pi f$.
• Волновое число: $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$.
• Для гармонической бегущей волны вдоль оси $x$: $\xi(x,t)=A\cos\!\big(kx-\omega t+\varphi_0\big)$

Базовая связь параметров волны

• Фазовая скорость распространения фронта/фазы: $v=\frac{\omega}{k}$
• Эквивалентно: $v=f\,\lambda$
• Следствие при переходе в другую среду: частота сохраняется, меняются $v$ и $\lambda$, причём $\lambda_2=\frac{v_2}{f}$

Волновое уравнение (1D) и решение

• Для однородной недиспергирующей среды: $\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}$
• Общее решение (форма д’Аламбера): $\xi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

Зависимость скорости от свойств среды (механические волны)

• Струна (натяжение $T$, линейная плотность $\mu$): $v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$
• Газ (адиабатическое приближение, показатель адиабаты $\gamma$, давление $p$, плотность $\rho$; эквивалентно через $R,T,M$): $v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ $v=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$
• Жидкость (объёмный модуль $K$): $v=\sqrt{\frac{K}{\rho}}$
• Твёрдое тело (продольная и поперечная упругие волны): $v_L=\sqrt{\frac{K+\tfrac{4}{3}G}{\rho}}$ $v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho}}$

Электромагнитные волны (скорость)

• В вакууме: $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}}$
• В однородной среде: $v=\frac{1}{\sqrt{\mu\,\varepsilon}}$ $n=\frac{c}{v}$ где $n$ — показатель преломления.

Дисперсия. Фазовая и групповая скорости

• В диспергирующей среде $\omega=\omega(k)$:
• Фазовая: $v_p=\frac{\omega}{k}$
• Групповая (скорость переноса огибающей/энергии): $v_g=\frac{d\omega}{dk}$
• В недиспергирующей среде $v_p=v_g=\text{const}$.

Практические факторы

• Для звука в газе $v\propto\sqrt{T}$ (растёт с температурой).
• Для струны $v\propto\sqrt{T}$ и $v\propto 1/\sqrt{\mu}$: увеличение натяжения ускоряет волну, утяжеление струны замедляет.
• При переходе границы сред: частота сохраняется, длина волны масштабируется как $\lambda\sim v$.

Частые ошибки

• Путать сохранение частоты с сохранением длины волны при переходе в другую среду: сохраняется $f$, а не $\lambda$.
• Путать $f$ и $\omega$: всегда $\omega=2\pi f$.
• Записывать формулы с кириллицей внутри — в формулах используйте только латиницу и стандартные символы.

Ключевые формулы (сводка)

$k=\frac{2\pi}{\lambda}$

$\omega=2\pi f$

$v=\frac{\omega}{k}$

$v=f\,\lambda$

$\lambda_2=\frac{v_2}{f}$

$\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}$

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$

$v=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$

$v=\sqrt{\frac{K}{\rho}}$

$v_L=\sqrt{\frac{K+\tfrac{4}{3}G}{\rho}}$

$v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho}}$

$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$

$v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$

$n=\frac{c}{v}$

$v_p=\frac{\omega}{k}$

$v_g=\frac{d\omega}{dk}$