Электроемкость проводника

Электроёмкость одиночного проводника

Определение: заряд проводника пропорционален его потенциалу (относительно бесконечности): $Q=C\,\varphi,$ где $C$ — электроёмкость (С/В = Ф).

Смысл: $C$ зависит только от геометрии и диэлектрической среды вокруг; не зависит от $Q$ и $\varphi$ по отдельности (в линейной электростатике).

Пример (изолированная сфера радиуса $R$ в однородной среде $\varepsilon$): $C=4\pi\varepsilon R,\qquad \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r.$

Конденсатор

Конденсатор — система из двух проводников (обкладок), разделённых диэлектриком. На обкладках $+Q$ и $-Q$, разность потенциалов $U$.

Определение ёмкости конденсатора: $C=\frac{Q}{U}.$

Плоский конденсатор (пластины площадью $S$, зазор $d\ll\sqrt{S}$, краевыми эффектами пренебречь): $C=\varepsilon\,\frac{S}{d},\qquad \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r.$ Поле между пластинами почти однородно: $E\approx \frac{U}{d}.$

Многослойные диэлектрики

Слои по толщине $d_i$ (последовательно в зазоре): $\frac{1}{C}=\sum_i \frac{d_i}{\varepsilon_i S}.$

Слои «по площади» $S_i$ (параллельно, одинаковая $d$): $C=\sum_i \varepsilon_i\,\frac{S_i}{d}.$

Другие классические геометрии (для ориентира)

• Соосные цилиндры (длины $L$, радиусы $a<b$): $C=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}.$
• Сферический конденсатор (радиусы $a<b$): $C=\frac{4\pi\varepsilon ab}{\,b-a\,}.$

Соединение конденсаторов

Параллельное (клеммы вместе: общее напряжение $U$): $C_{\text{экв}}=\sum_i C_i,\qquad Q_{\text{экв}}=\sum_i Q_i,\qquad U=\text{const}.$

Последовательное (цепочка: общий заряд $Q$): $\frac{1}{C_{\text{экв}}}=\sum_i \frac{1}{C_i},\qquad Q=\text{const},\qquad U_{\text{экв}}=\sum_i U_i.$

Заряды на всех конденсаторах одинаковы по модулю; напряжения распределяются обратно пропорционально ёмкостям: $U_i=\frac{Q}{C_i}.$

Энергия электрического поля конденсатора

Энергия, запасённая в конденсаторе: $W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}\,C\,U^2=\frac{1}{2}\,Q\,U.$

Объёмная плотность энергии поля в диэлектрике: $u=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,E^2.$

Для плоского конденсатора: $W=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,E^2\,S\,d=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,\frac{S}{d}\,U^2.$

Сила притяжения обкладок (дополнительно)

Давление поля на пластину (в однородном зазоре): $p=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,E^2=\frac{1}{2}\,\varepsilon\left(\frac{U}{d}\right)^2,$ сила $F=p\,S$ направлена на сближение пластин.

Практические замечания

• Диэлектрическая прочность: предельная напряжённость $E_{\text{max}}$ для данного материала; при $E>E_{\text{max}}$ возникает пробой.
• Маркировка: pF, nF, $\mu$F; допуски, рабочие напряжения, температурные коэффициенты.
• Зависимость от среды: введение диэлектрика с $\varepsilon_r>1$ увеличивает $C$ во столько раз, во сколько выросла $\varepsilon$.
• Краевые эффекты: формула $C=\varepsilon S/d$ справедлива при $d\ll\sqrt{S}$.

Типичные ошибки

• Путаница правил: в параллели суммируются ёмкости, в последовательном — их обратные.
• Забывают умножать на $\,\varepsilon_r$ при наличии диэлектрика.
• Подставляют $d$ в миллиметрах вместо метров; путают $S$ ($м^2$) и $см^2$.
• Используют $W=C\,U^2$ (некорректно) вместо правильной $W=\tfrac12 C U^2$.

Ключевые формулы (сводка)

$Q=C\,U,\qquad C=\frac{Q}{U}$

$C_{\text{plane}}=\varepsilon\,\frac{S}{d},\qquad \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$

$\frac{1}{C_{\text{series}}}=\sum_i \frac{1}{C_i},\qquad C_{\text{parallel}}=\sum_i C_i$

$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C U^2=\frac{1}{2}Q U,\qquad u=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,E^2$

$p=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,E^2,\qquad E\approx \frac{U}{d}$

$C_{\text{sphere}}=4\pi\varepsilon R,\quad C_{\text{coax}}=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)},\quad C_{\text{spherical}}=\frac{4\pi\varepsilon ab}{\,b-a\,}$