Работа поля и потенциальная энергия
- Сила поля на заряд: F=qE.
- Работа поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 по пути L:
Wfield,1→2=∫12F⋅dl=q∫12E⋅dl.
- Потенциальная энергия заряда в электрическом поле: U=qφ.
- Связь работы и энергии:
ΔU=U2−U1=−Wfield,1→2.
Потенциал и разность потенциалов (напряжение)
- Потенциал в точке: φ=qU (единица — вольт, 1V=1J/C).
- Разность потенциалов между точками 1 и 2:
Δφ=φ2−φ1=−∫12E⋅dl.
- Напряжение (в направлении от 1 к 2):
U1→2=φ1−φ2=+∫12E⋅dl=−Δφ.
- В электростатике поле консервативно: интеграл по замкнутому контуру равен нулю, а Δφ не зависит от пути.
Потенциал точечного заряда и принцип суперпозиции
- Одиночный точечный заряд q (нулевой уровень на бесконечности):
φ(r)=4πε1rq,ε=ε0εr.
- Суперпозиция потенциалов для системы зарядов:
φ(r)=∑i4πε1riqi.
- Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов:
U12=4πε1rq1q2.
Связь поля и потенциала
- Дифференциальная связь:
E=−∇φ.
В одномерном случае вдоль x: Ex=−dxdφ.
- Линейный интеграл:
Δφ=−∫12E⋅dl,U1→2=+∫12E⋅dl.
- Однородное поле (между широкими пластинами): по модулю ∣Δφ∣≈Ed,
где d — расстояние между точками по направлению поля. Потенциал убывает вдоль направления E.
Эквипотенциалы и работа
- Эквипотенциальные поверхности: φ=const, ортогональны линиям E.
- Работа при движении вдоль эквипотенциала:
Δφ=0 ⇒ Wfield=0.
Типичные замечания
- Знак работы и направление: положительный заряд самопроизвольно движется к меньшим φ, выполняя положительную работу поля; отрицательный — к большим φ.
- Учитывайте среду: при εr>1 потенциалы и поля от заданных q уменьшаются по модулю.
Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)
F=qE,U=qφ,Wfield,1→2=q∫12E⋅dl
ΔU=−Wfield,1→2
Δφ=φ2−φ1=−∫12E⋅dl,U1→2=φ1−φ2=+∫12E⋅dl
φ(r)=4πε1rq,φ=∑i4πε1riqi
E=−∇φ,Ex=−dxdφ
∣Δφ∣≈Ed(однородное поле, по модулю)
