Электрическое поле

Понятие электрического поля и напряжённости

• Электрическое поле — физическая реальность, окружающая заряды и действующая на другие заряды.
• Напряжённость (интенсивность) поля — векторная величина, определённая как сила на единичный положительный пробный заряд: $\mathbf{E}=\lim_{q_0\to 0}\frac{\mathbf{F}}{q_0}$ Для конечного заряда в точке поля: $\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}.$
• Единицы: $[\mathbf{E}] = \text{N/C} = \text{V/m}$. Вектор $\mathbf{E}$ имеет модуль и направление (строго вдоль действия силы на $+q$).

Поле одиночного точечного заряда и влияние среды

• В вакууме (точечный заряд $q$ на расстоянии $r$): $\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}.$ Направление от $+q$ и к $-q$.
• В однородной диэлектрической среде: $\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r.$

Принцип суперпозиции электрических полей

• Для многих источников поле — векторная сумма: $\mathbf{E}=\sum_{i}\mathbf{E}_i.$
• Для непрерывных распределений заряда:
• Линейная плотность $\lambda$: $\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\frac{\lambda(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,dl'.$
• Поверхностная плотность $\sigma$: $\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\frac{\sigma(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,dS'.$
• Объёмная плотность $\rho$: $\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,dV'.$

Полезные частные случаи

• Однородное поле: в каждой точке одинаковые модуль и направление $\Rightarrow$ параллельные и равномерно «густые» силовые линии (пример — между широкими параллельными пластинами).
• Бесконечная заряженная плоскость (модуль, по одну сторону): $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.$ Между двумя противоположно заряженными большими пластинами: $E\approx \sigma/\varepsilon_0$ (направлено от «+» к «−»).
• Электрический диполь (два равных и противоположных заряда на малом расстоянии $d$; дипольный момент $\mathbf{p}=q\,\mathbf{d}$, дальнее поле $r\gg d$):
• На оси диполя (вне зарядов): $E_{\text{ax}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2p}{r^3}.$
• На экваториальной линии: $E_{\text{eq}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{p}{r^3}.$ Направления различаются (вдоль/против $\mathbf{p}$).

Графическое изображение полей: силовые линии и эквипотенциалы

• Силовые линии — воображаемые линии, касательные к $\mathbf{E}$ в каждой точке:
• Начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах (или уходят на бесконечность).
• Не пересекаются.
• Густота линий пропорциональна модулю $E$ (там, где линий больше — поле сильнее).
• Перпендикулярны поверхности проводника (в электростатике).
• Эквипотенциальные поверхности — поверхности одинакового потенциала; всегда ортогональны силовым линиям.

Поток и качественная связь с «числом линий»

• Поток поля через поверхность: $\Phi_E=\iint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.$ Чем больше поток через площадку (по модулю), тем «гуще» линии, её пересекающие. (Точный закон для замкнутых поверхностей изучается в теме закона Гаусса.)

Связь с потенциалом (кратко, для ориентира)

• Направление $\mathbf{E}$ соответствует наибыстрейшему убыванию потенциала, а модуль: $\mathbf{E}=-\nabla \varphi.$ Эквипотенциальные поверхности — уровни $\varphi=\text{const}$ и ортогональны $\mathbf{E}$.

Частые ошибки

• Суммировать модули вместо векторов при нескольких зарядах (нужно по компонентам).
• Путать направление $\mathbf{E}$: оно соответствует силе на положительный заряд.
• Игнорировать среду ($\varepsilon_r$): в воде взаимодействие сильно слабее, чем в вакууме.
• Рисовать пересечение силовых линий или неверно изображать их начало/конец (не начинаются на «−» и не заканчиваются на «+»).

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$\mathbf{F}=q\,\mathbf{E},\qquad [\mathbf{E}]=\text{N/C}=\text{V/m}$

$\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$

$\mathbf{E}=\sum_i \mathbf{E}_i,\quad \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,dV'$

$E_{\text{plane}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},\qquad E_{\text{plates}}\approx\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

$\mathbf{p}=q\,\mathbf{d},\quad E_{\text{ax}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{r^3},\quad E_{\text{eq}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p}{r^3}$

$\Phi_E=\iint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S},\qquad \mathbf{E}=-\nabla \varphi$