Модель атома Томсона

Модель Томсона (“пудинг с изюмом”)

Атом — неразличимая сфера положительного заряда, внутри которой “вморожены” электроны (точечные отрицательные заряды). Электростатическое поле внутри однородно заряженной сферы растёт линейно с радиусом: $E(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}\quad(0\le r\le R)$, где $\rho$ — объёмная плотность положительного заряда, $R$ — радиус атома. Потенциальная энергия электрона в такой сфере квадратична по $r$: $U(r)=\frac{1}{2}\,k\,r^2,\qquad k=\frac{e\,\rho}{3\varepsilon_0}$.

Мисал: Слабое отклонение быстрых зарядов при пролёте через атом (распределённый позитив “смягчает” поле). Попытка объяснить спектры как собственные колебания электронов в “эластичном” положительном облаке.

Проблемы:

• Не объясняет устойчивость и дискретность спектров (эксперимент даёт чёткие линейчатые спектры).
• Большие углы рассеяния быстрых $\alpha$ -частиц на тонких фольгах, обнаруженные позже, противоречат “размазанному” заряду.

Опыты Резерфорда (Гейгер—Мерсден, 1909–1911)

Схема: поток $\alpha$ -частиц (заряд $+2e$, энергия порядка нескольких MeV) направляли на тонкую металлическую фольгу (например, золото). Отслеживали углы отклонения по вспышкам на экране.

Ключевые наблюдения:

1. Почти все частицы проходят почти без отклонения → большая часть атомного объёма “пустая”.
2. Небольшая доля частиц отклоняется на большие углы (до обратного направления) → существует компактный центр сильного положительного поля.

Мисал: Почти весь положительный заряд и почти вся масса сосредоточены в очень малом ядре. Электроны занимают околоядерное пространство; характерный атомный размер $\sim10^{-10}\,\text{m}$, характерный ядерный размер $\sim10^{-14}\text{–}10^{-15}\,\text{m}$.

Кулоновское рассеяние и формула Резерфорда

Модель: $\alpha$ -частица массы $m$, заряда $z e$ рассеивается на точечном ядре заряда $Z e$ с кулоновским потенциалом: $U(r)=\frac{k\,Z z e^2}{r},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. Связь параметра удара $b$ с углом рассеяния $\theta$: $b=\frac{k\,Z z e^2}{2E}\,\cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$, где $E$ — кинетическая энергия налетающей частицы.

Мисал: Дифференциальное сечение Резерфорда вероятность рассеяния на угол $\theta$ в телесный угол $d\Omega$: $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{k\,Z z e^2}{4E}\right)^2\frac{1}{\sin^4\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}$. Характерный признак: сильный рост при больших углах (закон $\sin^{-4}$), что невозможно получить в модели Томсона.

Оценка «на радиус сближения» при лобовом столкновении $b=0$: минимальная дистанция $r_{\min}$ следует из $E=U(r_{\min})$: $r_{\min}=\frac{k\,Z z e^2}{E}$.

Рождение ядерной модели атома

Ядро: компактный носитель положительного заряда $Z e$ и почти всей массы. Электроны: связаны кулоновским притяжением; классическая орбитальная модель требует развития (квантование, радиационная устойчивость → последующая модель Бора и квантовая механика).

Сопоставление моделей

• Распределение $+$ заряда — Томсон: равномерно по объёму; Резерфорд (ядерная): сосредоточен в ядре.
• Большие углы рассеяния — Томсон: практически невозможны; Резерфорд (ядерная): естественны закон $\sin^{-4}$.
• Спектры — Томсон: не даёт дискретности; Резерфорд (ядерная): требует квантовой теории электронов.
• Пустота атома — Томсон: нет (заполнен зарядом); Резерфорд (ядерная): да (почти весь объём пуст).

Ключевые формулы (сводка)

$E(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0},\qquad U(r)=\tfrac12 k r^2,\ \ k=\frac{e\,\rho}{3\varepsilon_0}$

$U(r)=\frac{k\,Z z e^2}{r},\quad b=\frac{k\,Z z e^2}{2E}\cot\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{k\,Z z e^2}{4E}\right)^2\frac{1}{\sin^4\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$

$r_{\min}=\frac{k\,Z z e^2}{E}$