Закон радиоактивного распада

Определения и модель

• Радиоактивный распад — спонтанное превращение нестабильного ядра с испусканием частиц/квантов.
• Число ядер $N(t)$ , постоянная распада $\,\lambda$ единица: s$^{-1}$, активность $A(t)$ единица: Бк = 1 s$^{-1}$.
• Предположение: каждое ядро распадается случайно, с постоянной вероятностью в единицу времени $\,\lambda$ (процесс Пуассона).

Дифференциальное уравнение и решение

• Микроскопический закон: $\frac{dN}{dt}=-\lambda N.$
• Решение: $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t},\qquad A(t)=\lambda N(t)=A_0\,e^{-\lambda t},\quad A_0=\lambda N_0.$

Периоды и характеристики времени

• Период полураспада: $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.$
• Средняя жизнь: $\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}.$
• Вероятность времени жизни отдельного ядра (экспоненциальное распределение): $p(t)=\lambda\,e^{-\lambda t}\quad (t\ge 0).$

Практические формы записи

• Доля оставшихся ядер: $\frac{N(t)}{N_0}=e^{-\lambda t}=2^{-t/T_{1/2}}.$
• Возраст из соотношения начального и текущего количества (или активности): $t=\frac{1}{\lambda}\ln\!\frac{N_0}{N(t)}=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\!\frac{A_0}{A(t)}.$

Статистика распада и счёта

• За короткий интервал $\Delta t$ распавшиеся ядра имеют распределение Пуассона со средним $\mu\approx A\,\Delta t.$
• Для числа зарегистрированных событий $C$: $\sigma_C=\sqrt{C},\qquad \frac{\sigma_C}{C}\approx \frac{1}{\sqrt{C}}.$

Разветвлённый распад (ветви)

• Если у нуклида несколько каналов с долями $b_i$: $\sum_i b_i=1,\qquad \lambda=\sum_i \lambda_i,\qquad \lambda_i=b_i\,\lambda.$
• Активность по $i$ -й ветви: $A_i(t)=\lambda_i\,N(t)=b_i\,A(t).$

Последовательный распад цепочки $1\to2\to\cdots$

Для двухзвенной цепочки $1\to2$ (без начальных дочерних ядер):

• $N_1(t)=N_{10}\,e^{-\lambda_1 t},$
• $N_2(t)=\frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2-\lambda_1}\left(e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}\right),\quad (\lambda_1\ne\lambda_2).$
• Секулярное равновесие ($\lambda_1\ll \lambda_2$ ): спустя $t\gg 1/\lambda_2$ $A_2(t)\approx A_1(t),\qquad N_2(t)\approx \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\,N_1(t).$

Активность, удельная активность, количество вещества

• Для массы $m$ нуклида с молярной массой $M$: $N=\frac{N_A}{M}\,m,\qquad A=\lambda N=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\frac{N_A}{M}\,m,$ где $N_A$ — число Авогадро. Удельная активность $a=A/m=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\dfrac{N_A}{M}$.

Энергетика распада (качественно)

• Энергия распада: $Q=\left(M_i-M_f\right)c^2,$ распределяется между излучёнными частицами/квантами (и отдачей ядра).
• Типы: $\alpha$ -, $\beta^-$ -, $\beta^+$ -, электронный захват, $\gamma$ -переходы; закон распада $N(t)$ сохраняется экспоненциальным.

Графические и логарифмические формы

• Полулогарифмический график $\ln N$ vs $t$ — прямая с углом наклона $-\lambda$: $\ln N(t)=\ln N_0-\lambda t.$

Ключевые формулы (сводка)

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N,\qquad N(t)=N_0 e^{-\lambda t},\qquad A(t)=\lambda N(t)$

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda},\qquad \tau=\frac{1}{\lambda}$

$\frac{N(t)}{N_0}=e^{-\lambda t}=2^{-t/T_{1/2}},\qquad t=\frac{1}{\lambda}\ln\!\frac{N_0}{N(t)}$

$p(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad \sigma_C=\sqrt{C}$

$\lambda=\sum_i \lambda_i,\ \ \lambda_i=b_i\lambda,\ \ A_i=b_i A$

$N_2(t)=\frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2-\lambda_1}\left(e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}\right),\ \ A_2\approx A_1\ \ (\lambda_1\ll \lambda_2)$

$A=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\frac{N_A}{M}\,m,\qquad a=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\frac{N_A}{M}$

$Q=(M_i-M_f)c^2,\qquad \ln N(t)=\ln N_0-\lambda t$