Работа в термодинамике

Что называют работой в термодинамике

• Граничная (объёмная) работа — это энергия, переданная системой/средой за счёт изменения объёма при давлении на границе.
• Элементарная работа (соглашение знаков: работа, совершённая системой, положительна): $\delta W = p_{\text{ext}}\,dV$ где $p_{\text{ext}}$ — внешнее давление на поршень, $dV$ — изменение объёма системы.
• При квазистатическом (обратимом) процессе $p_{\text{ext}}=p$ системы в каждый момент: $\delta W = p\,dV,\qquad W=\int_{V_1}^{V_2} p(V)\,dV$
• Единицы: $1\,\text{Па}\cdot\text{м}^3=1\,\text{Дж}$.

Замечание о знаках: при расширении $dV>0\Rightarrow W>0$ (система совершает работу над внешней средой); при сжатии $W<0$.

Геометрический смысл работы

• На диаграмме $p$–$V$ работа за процесс равна площади под кривой $p(V)$ от $V_1$ до $V_2$ с учётом ориентации: $W=\int_{V_1}^{V_2} p(V)\,dV$
• Для цикла работа равна площади, ограниченной замкнутым контуром: $W_{\text{cycle}}=\oint p\,dV$ Контур по часовой стрелке $\Rightarrow W_{\text{cycle}}>0$ (система отдаёт работу вовне), против часовой — $W_{\text{cycle}}<0$.

Связь с первым началом

• Первое начало (в принятом знаке): $dU=\delta Q-\delta W$ где $dU$ — приращение внутренней энергии, $\delta Q$ — подведённое тепло, $\delta W$ — работа, совершённая системой.
• Следствия: при изохоре ($dV=0$) $\Rightarrow \delta W=0$ и $dU=\delta Q$; при адиабате ($\delta Q=0$) $\Rightarrow dU=-\delta W$.

Типовые процессы (идеальный газ, квазистатически)

• Изобарный ($p=\text{const}$): $W=p\,(V_2-V_1)$
• Изохорный ($V=\text{const}$): $W=0$
• Изотермический ($T=\text{const}$): $W=nRT\ln\!\frac{V_2}{V_1}$
• Адиабатный ($\delta Q=0$, показатель $\gamma=C_p/C_V$): $W=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}=n\,\frac{R}{\gamma-1}\,(T_1-T_2)$
• Политропный ($pV^n=\text{const}$, $n\neq 1$): $W=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{1-n}$ (при $n=1$ получается изотермический логарифм).

Обратимость и роль $p_{\text{ext}}$

• Если процесс быстрый/необратимый, давление внутри неоднородно; корректно использовать внешнее давление: $W=\int p_{\text{ext}}\,dV$ График «состояний» $p(V)$ системы уже не даёт точного $W$ (нет квазистатики).
• Для оценки реальных процессов часто используют среднее внешнее давление либо строят отдельный контур «нагнетание–расширение».

Почему пишут $\delta W$, а не $dW$

• Работа зависит от пути (не функция состояния), поэтому используют «неполный дифференциал» $\delta W$.
• Итоговое $W$ задаётся путём на диаграмме (геометрически — площадью), а не только начальным/конечным состояниями.

Частые ошибки

• Подстановка давления системы $p$ вместо $p_{\text{ext}}$ в явно необратимом процессе.
• Неправильный знак при чтении площади на $p$–$V$ (ориентация контура!).
• Смешение единиц: $p$ в кПа, $V$ в л — всегда приводить к СИ.
• Ожидание, что $W$ зависит только от $(p_1,V_1,T_1)$ и $(p_2,V_2,T_2)$ (это верно только для $U$, но не для $W$).

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$\delta W=p_{\text{ext}}\,dV\quad(\text{квазистатика: } \delta W=p\,dV)$

$W=\int_{V_1}^{V_2} p(V)\,dV,\qquad W_{\text{cycle}}=\oint p\,dV$

$dU=\delta Q-\delta W$

$W_{\text{isoP}}=p\,(V_2-V_1),\quad W_{\text{isoV}}=0,\quad W_{\text{isoT}}=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$

$W_{\text{adiab}}=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}=n\,\frac{R}{\gamma-1}\,(T_1-T_2)$

$W_{\text{poly}}=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{1-n}\quad(n\neq 1)$