Внутренняя энергия идеального газа

Определение и допущения

Внутренняя энергия $U$ — суммарная энергия микродвижений частиц системы (кинетическая поступательная, вращательная и, при достаточной температуре, колебательная), без учёта энергии макродвижения и внешних полей.

Идеальный газ: частицы-точки, взаимодействуют только при упругих столкновениях, поэтому потенциальной энергии межчастичного взаимодействия нет. Отсюда ключевой вывод: для идеального газа $U$ зависит только от температуры.

Микроскопическая связь и теорема о равнораспределении

Для молекулы с числом активных квадратичных степеней свободы $f$ средняя энергия: $\langle E \rangle=\tfrac{f}{2}\,k\,T$.

Для всего газа: $U=\tfrac{f}{2}\,N\,k\,T=\tfrac{f}{2}\,n\,R\,T$, где $N$ — число частиц, $n$ — количество вещества (в молях), $k$ — постоянная Больцмана, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Типичные $f$ (вблизи комнатных $T$):

• Моноатомный газ: $f=3$ (только поступательные) ⇒ $U=\tfrac{3}{2}nRT$.
• Двухатомный линейный (при умеренных $T$ активны поступательные $3$ и вращательные $2$): $f\approx5$ ⇒ $U\approx\tfrac{5}{2}nRT$. При более высоких $T$ «включаются» колебания ⇒ $f$ растёт.
• Многоатомные: $f$ может быть $6$ и более; при низких $T$ некоторые степени «заморожены» (квантовые эффекты).

Следствия: зависимость только от $T$

Для идеального газа: $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0,\qquad \left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)_T=0$.

Изменение внутренней энергии в любом процессе: $\Delta U=n\,C_V\,\Delta T$, где $C_V=(\partial U/\partial T)_V$ — теплоёмкость при постоянном объёме.

Изотермический процесс ($\Delta T=0$) ⇒ для идеального газа: $\Delta U=0$.

Теплоёмкости и показатель адиабаты

Из $U=\tfrac{f}{2}nRT$: $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\tfrac{f}{2}\,nR,\qquad C_{V,m}=\tfrac{f}{2}\,R$.

Связь Майера: $C_P-C_V=nR,\qquad C_{P,m}-C_{V,m}=R$.

Показатель адиабаты: $\gamma=\frac{C_P}{C_V}=1+\frac{R}{C_{V,m}}=1+\frac{2}{f}$.

Примеры: моноатомный $\gamma=5/3$, двухатомный (без колебаний) $\gamma=7/5$.

Смеси идеальных газов (фиксированный состав)

При одной температуре $T$: $U_{\text{mix}}=\sum_i \tfrac{f_i}{2}\,n_i\,R\,T$, $C_{V,\text{mix}}=\sum_i \tfrac{f_i}{2}\,n_i\,R$.

Если $f_i$ зависят от $T$, теплоёмкости — функции температуры.

Связь с первым началом

Первое начало (в принятом знаке): $dU=\delta Q-\delta W$.

Для идеального газа при конечных изменениях: $\Delta U=n\,C_V\,\Delta T$.

В адиабате ($\delta Q=0$) изменение $U$ равно по модулю работе со знаком минус.

Область применимости и отклонения

При высоких давлениях/низких температурах реальных газов проявляется вклад потенциальной энергии, поэтому $U$ может зависеть от $V$ и состава сложнее.

Для многоатомных газов $f$ и, следовательно, $C_V$, $C_P$, $\gamma$ становятся температурозависимыми из-за поочерёдного «включения» вращательных/колебательных степеней.

Частые ошибки

• Путать $\Delta U$ и $Q$: $\Delta U$ — функция состояния, $Q$ — величина процесса.
• Использовать градусы Цельсия в формулах, где нужна абсолютная температура $T$ (Кельвины).
• Считать, что для идеального газа $U$ зависит от $p$ или $V$ при фиксированном $T$.
• При вычислении $\gamma$ брать фиксированное $f$ там, где оно уже зависит от $T$.

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$U=\tfrac{f}{2}\,N\,k\,T=\tfrac{f}{2}\,n\,R\,T$

$\Delta U=n\,C_V\,\Delta T,\qquad C_V=\tfrac{f}{2}\,nR,\qquad C_{V,m}=\tfrac{f}{2}\,R$

$C_P-C_V=nR,\qquad C_{P,m}=C_{V,m}+R,\qquad \gamma=\frac{C_P}{C_V}=1+\frac{2}{f}$

$\Delta U_{\text{isoT}}=0\quad(\text{идеальный газ}),\qquad dU=\delta Q-\delta W$