Первый закон термодинамики

Суть и формулировка

Первый закон связывает изменение внутренней энергии системы с теплом и работой:

• Определение (замкнутая система): $dU=\delta Q-\delta W$ где $dU$ — приращение внутренней энергии (функция состояния), $\delta Q$ — подведённое к системе тепло (положительно, если в систему), $\delta W$ — работа, совершённая системой над окружением (положительно при расширении).

• pV-работа (квазистатика): $\delta W=p\,dV$

• Необратимый процесс: использовать внешнее давление: $\delta W=p_{\text{ext}}\,dV$

Интерпретация и свойства

• $U=U(\text{состояние})$; $Q$ и $W$ — величины процесса (зависят от пути), поэтому пишут $\delta Q$, $\delta W$, а не полные дифференциалы.
• Геометрический смысл pV-работы: $W=\int_{V_1}^{V_2}p(V)\,dV,\qquad W_{\text{cycle}}=\oint p\,dV$

Частные процессы (идеальный газ, квазистатика)

• Изохора $V=\text{const}$: $dV=0\Rightarrow \delta W=0$, значит $Q=\Delta U=n\,C_V\,\Delta T$
• Изобар $p=\text{const}$: $W=p\,(V_2-V_1),\quad \Delta U=n\,C_V\,\Delta T,\quad Q=\Delta U+W=n\,C_P\,\Delta T$ где $C_P-C_V=nR$ (соотношение Майера).
• Изотерма $T=\text{const}$ (идеальный газ): $\Delta U=0\;\Rightarrow\; Q=W=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$
• Адиабата $\delta Q=0$: $\Delta U=-W,\qquad W=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}=n\,\frac{R}{\gamma-1}(T_1-T_2)$ где $\gamma=C_P/C_V$.

Энтальпия и постоянное давление (кратко)

Вводят энтальпию $H=U+pV$. Тогда при постоянном давлении и только pV-работе: $\delta Q=dH,\qquad \Delta H=n\,C_P\,\Delta T$

Циклы и КПД

Для любого замкнутого цикла: $\Delta U_{\text{cycle}}=0\;\Rightarrow\;Q_{\text{cycle}}=W_{\text{cycle}}$ Знак $W_{\text{cycle}}$ задаётся обходом контура на $p$–$V$ (по часовой — $W>0$).

Калориметрический баланс (идеально изолированная система)

Суммарное теплообменное равенство: $\sum Q=0$ (полезно при задачах смешения и фазовых переходов).

Типичные ошибки

• Путать знак в $dU=\delta Q-\delta W$ (в этой конвенции работа системы вычитается).
• Использовать градусы Цельсия вместо $K$ в формулах с $T$.
• Считать, что $Q$ или $W$ — функции состояния (они путь-зависимы).
• В необратимых процессах подставлять $p$ системы вместо $p_{\text{ext}}$.

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$dU=\delta Q-\delta W$

$\delta W=p\,dV\quad(\text{квазистатика}),\qquad \delta W=p_{\text{ext}}\,dV\quad(\text{необратимо})$

$W=\int_{V_1}^{V_2}p(V)\,dV,\qquad W_{\text{cycle}}=\oint p\,dV$

$\Delta U=n\,C_V\,\Delta T,\qquad C_P-C_V=nR,\qquad \gamma=\frac{C_P}{C_V}$

$\text{isoV: }\;Q=\Delta U=n\,C_V\,\Delta T,\quad W=0$

$\text{isoP: }\;Q=n\,C_P\,\Delta T,\quad W=p\,(V_2-V_1)$

$\text{isoT (ideal gas): }\;\Delta U=0,\quad Q=W=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$

$\text{adiab: }\;Q=0,\quad \Delta U=-W=\;n\,\frac{R}{\gamma-1}(T_2-T_1)$

$H=U+pV,\qquad \Delta H=n\,C_P\,\Delta T,\qquad \delta Q=dH\;(\text{const }p)$