Газовые законы, диаграммы изопроцессов

Газовые законы и диаграммы изопроцессов

Базовая модель

Идеальный газ: молекулы-точки, между столкновениями не взаимодействуют. Уравнение состояния: $pV=nRT=NkT.$

Классические газовые законы (для фиксированных двух параметров)

• Бойля–Мариотта (T,n const): $pV=\text{const}.$
• Гей–Люссак (p,n const): $\frac{V}{T}=\text{const}.$
• Шарль (V,n const): $\frac{p}{T}=\text{const}.$
• Авогадро (p,T const): $\frac{V}{n}=\text{const}.$

Комбинированный закон (для данного количества вещества): $\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}.$

Изопроцессы и их уравнения

Пусть количество вещества постоянно.

A) Изотермический процесс (T=const)

• Уравнение на p–V: $p=\frac{nRT}{V}.$
• На p–V — гипербола (изотерма). На V–T — горизонтальная линия (T const). На p–T — вертикальная линия (T const).
• Работа: $W=\int p\,dV=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.$
• Изменение внутренней энергии идеального газа: $\Delta U=0.$
• Подводимое тепло: $Q=W.$

B) Изобарный процесс (p=const)

• Уравнение на V–T: $\frac{V}{T}=\frac{nR}{p}.$
• На p–V — горизонтальная прямая (p const). На V–T — прямая через начало. На p–T — прямая через начало с углом наклона (nR/V) переменным.
• Работа: $W=p\,(V_2-V_1).$
• Для идеального газа: $\Delta U=nC_V(T_2-T_1),\quad Q=nC_p(T_2-T_1),\quad C_p=C_V+R.$

C) Изохорный процесс (V=const)

• Уравнение на p–T: $\frac{p}{T}=\frac{nR}{V}.$
• На p–V — вертикальная прямая (V const). На p–T — прямая через начало. На V–T — вертикальная линия? (V const).
• Работа: $W=0.$
• Теплота: $Q=\Delta U=nC_V(T_2-T_1).$

D) Адиабатный процесс (Q=0)

• Связи (идеальный газ): $pV^{\gamma}=\text{const},\qquad TV^{\gamma-1}=\text{const},\qquad \frac{T^{\gamma}}{p^{\gamma-1}}=\text{const},$ где (\gamma=\frac{C_p}{C_V}>1).
• На p–V адиабата круче изотермы, проходящей через ту же точку.
• Работа (знак по направлению процесса): $W=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}=n\frac{R}{\gamma-1}(T_1-T_2).$
• Изменение энергии: $\Delta U=-W.$

(Адиабата формально относится к термодинамике, но обычно показывается вместе с изопроцессами на диаграммах.)

Диаграммы изопроцессов (качественно)

На p–V:

• Изотерма: гипербола (p=nRT/V) (чем выше T, тем выше кривая).
• Изобара: горизонтальная линия (p=\text{const}).
• Изохора: вертикальная линия (V=\text{const}).
• Адиабата: круче изотермы (быстрее падает p при росте V).

На V–T:

• Изотерма: горизонтальная линия (T=\text{const}).
• Изобара: прямая через начало (V=\frac{nR}{p}T).
• Изохора: вертикальная линия (V=\text{const}).

На p–T:

• Изотерма: вертикальная линия (T=\text{const}).
• Изобара: горизонтальная линия (p=\text{const}).
• Изохора: прямая через начало (p=\frac{nR}{V}T).

Работа газа на p–V

Геометрический смысл: работа при квазистатическом процессе равна площади под кривой (p(V)) от (V_1) до (V_2): $W=\int_{V_1}^{V_2} p(V)\,dV.$

Частые ошибки

• Подстановка температуры в °C вместо K.
• Смешение (n) (моли) и (N) (частицы).
• Неверный знак работы: при расширении (W>0), при сжатии (W<0).
• Ожидание, что на V–T изотерма — наклонная (на самом деле горизонтальная).

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$pV=nRT=NkT$

$pV=\text{const},\quad \frac{V}{T}=\text{const},\quad \frac{p}{T}=\text{const},\quad \frac{V}{n}=\text{const}$

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$

$W_{\text{isoT}}=nRT\ln\frac{V_2}{V_1},\quad W_{\text{isoP}}=p\,(V_2-V_1),\quad W_{\text{isoV}}=0$

$Q_{\text{isoP}}=nC_p\Delta T,\quad Q_{\text{isoV}}=nC_V\Delta T,\quad \Delta U=nC_V\Delta T$

$pV^{\gamma}=\text{const},\quad TV^{\gamma-1}=\text{const},\quad W_{\text{adiab}}=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$