Уравнение состояния идеального газа

Суть и допущения

Идеальный газ — модель, где молекулы считаются материальными точками, взаимодействуют только при упругих столкновениях; собственным объёмом и межмолекулярным притяжением пренебрегают. Модель верна при невысоких плотностях и достаточно высоких температурах.

Макроскопические формы уравнения

• Через количество вещества n (в молях): $pV=nRT$
• Через число частиц N: $pV=NkT$
• Через массу m и молярную массу M: $pV=\frac{m}{M}RT$
• В удельной форме (через плотность \rho и удельную газовую постоянную R_{spec}=R/M): $p=\rho\,R_{spec}\,T$

Здесь p — давление, V — объём, T — абсолютная температура; R — универсальная газовая постоянная (R\approx 8.314 Дж/(моль·К)); k — постоянная Больцмана (k=R/N_A), N_A — число Авогадро.

Микроскопическая связь (МКТ)

Основное уравнение МКТ даёт: $p=\tfrac13\,n_c\,m_0\,\langle v^2\rangle$ где n_c=N/V — концентрация частиц, m_0 — масса молекулы. Совместно с $\langle E_k\rangle=\tfrac12 m_0\langle v^2\rangle=\tfrac32 kT$ получаем эквивалентность форм pV=NkT и pV=nRT.

Частные газовые законы (из уравнения состояния)

При фиксированных двух параметрах:

• Бойля–Мариотта (T, n — const): $pV=\text{const}$
• Гей-Люссака (p, n — const): $\frac{V}{T}=\text{const}$
• Шарля (V, n — const): $\frac{p}{T}=\text{const}$
• Авогадро (p, T — const): $\frac{V}{n}=\text{const}$

Смеси идеальных газов

• Закон Дальтона (парциальные давления): $p=\sum_i p_i,\qquad p_i=n_i\,\frac{R T}{V}$
• Эквивалентно в удельной форме: $p=\rho\,R_{mix}\,T,\qquad R_{mix}=\frac{R}{M_{mix}}$ где M_{mix} — средняя молярная масса смеси.

Полезные численные факты

• Универсальная постоянная: R≈8.314 Дж/(моль·К).
• Постоянная Больцмана: k≈1.38\times10^{-23} Дж/К.
• Число Авогадро: N_A≈6.022\times10^{23} моль⁻¹.
• Молярный объём идеального газа при T=273.15 K, p=1 атм: $V_m\approx 22.4\ \text{л/моль}$

Область применимости и отклонения

Идеальная модель лучше работает при малых p и больших T. Отклонения реальных газов учитывают, например, уравнением ван-дер-Ваальса; вводят фактор сжимаемости: $Z=\frac{pV}{nRT}\approx 1\quad(\text{для идеального газа})$

Типичные ошибки

• Путаница M (молярная масса) и m_0 (масса одной молекулы).
• Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо келвинов.
• Использование pV=NkT и pV=nRT с несогласованными N/n.

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$pV=nRT$

$pV=NkT$

$pV=\frac{m}{M}RT,\qquad p=\rho\,\frac{R}{M}\,T$

$p=\tfrac13\,n_c\,m_0\,\langle v^2\rangle,\qquad \langle E_k\rangle=\tfrac32 kT$

$pV=\text{const},\ \ \frac{V}{T}=\text{const},\ \ \frac{p}{T}=\text{const}$

$p=\sum_i p_i,\qquad p_i=\frac{n_i RT}{V},\qquad Z=\frac{pV}{nRT}$