Скорости молекул газа

Что называют «скоростями» в газе

• У каждой молекулы в каждый момент есть вектор скорости $\vec v=(v_x,v_y,v_z)$ и модуль $v=|\vec v|$.
• Важны статистические характеристики по большому числу молекул: распределение скоростей и их средние значения.

Максвелловское распределение (идеальный газ, равновесие)

• Компоненты скорости независимы и распределены нормально: $f(v_x)=\sqrt{\frac{m_0}{2\pi kT}}\;\exp\!\left(-\frac{m_0 v_x^2}{2kT}\right)$ (аналогично для $v_y,v_z$).
• Распределение по модулю скорости (плотность вероятности): $f(v)=4\pi\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 \exp\!\left(-\frac{m_0 v^2}{2kT}\right),\qquad v\ge0$
• Нормировка: $\int_0^\infty f(v)\,dv=1$.

Характерные скорости

• Наиболее вероятная (максимум $f(v)$): $v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}$
• Средняя по модулю: $v_{avg}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}$
• Среднеквадратичная: $v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$
• Порядок значений: $v_p< v_{avg}< v_{rms}$

Связь с температурой и массой

• Все характерные скорости масштабируются как $v\propto\sqrt{T}$ и $v\propto 1/\sqrt{m_0}$.
• При одной и той же $T$ лёгкие молекулы движутся быстрее тяжёлых.

Связь моментов скоростей с температурой

• По осям: $\langle v_x\rangle=0,\qquad \langle v_x^2\rangle=\frac{kT}{m_0}$
• По модулю: $\langle v^2\rangle=3\,\frac{kT}{m_0},\qquad v_{rms}=\sqrt{\langle v^2\rangle}$
• Среднее по модулю одной компоненты: $\langle |v_x| \rangle=\sqrt{\frac{2kT}{\pi m_0}}$

Физические следствия

• Рост $T$ расширяет «хвост» распределения: чаще встречаются большие $v$ (испарение, диффузия ускоряются).
• Макроскопическое давление связано со скоростями молекул: $p=\tfrac13\,n\,m_0\,\langle v^2\rangle=\tfrac23\,n\,\langle E_k\rangle$ где $\langle E_k\rangle=\tfrac12 m_0\langle v^2\rangle=\tfrac32 kT$.

Типичные ошибки

• Путаница между $v_p$, $v_{avg}$ и $v_{rms}$.
• Подстановка $m_0$ (массы молекулы) вместо молярной $M$, и наоборот.
• Неправильная нормировка: использовать $f(v)$, а не гауссиан по одной компоненте, когда нужен модуль $v$.

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$f(v_x)=\sqrt{\frac{m_0}{2\pi kT}}\;\exp\!\left(-\frac{m_0 v_x^2}{2kT}\right)$

$f(v)=4\pi\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 \exp\!\left(-\frac{m_0 v^2}{2kT}\right)$

$v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}},\quad v_{avg}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}},\quad v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

$\langle v_x^2\rangle=\frac{kT}{m_0},\quad \langle v^2\rangle=3\,\frac{kT}{m_0},\quad \langle |v_x|\rangle=\sqrt{\frac{2kT}{\pi m_0}}$

$p=\tfrac13\,n\,m_0\,\langle v^2\rangle=\tfrac23\,n\,\langle E_k\rangle,\qquad \langle E_k\rangle=\tfrac32 kT$