Идеальный газ в МКТ

Модель идеального газа (МКТ)

• Частицы — материальные точки массы $m_0$, размеры пренебрежимо малы по сравнению с межчастичными расстояниями.
• Взаимодействуют только при упругих столкновениях между собой и со стенками; между столкновениями движутся прямолинейно и равномерно.
• Газ однороден и изотропен, макросостояние описывается статистически (большое $N$).

Обозначения: число молекул $N$, объём $V$, концентрация $n=N/V$, масса молекулы $m_0$.

Вывод основного уравнения МКТ (идея)

Импульс передаётся стенке при ударах. Средняя сила на стенку определяется средним потоком импульса через единичную площадь. В итоге для давления получаем $p=\tfrac13\,n\,m_0\,\langle v^2\rangle,$ где $\langle v^2\rangle$ — среднее по ансамблю частиц.

Эквивалентно через среднюю кинетическую энергию одной молекулы $\langle E_k\rangle=\tfrac12 m_0\langle v^2\rangle$: $p=\tfrac{2}{3}\,n\,\langle E_k\rangle,\qquad pV=\tfrac{2}{3}\,N\,\langle E_k\rangle.$ Это и называют основным уравнением МКТ (связывает макро $p,V$ с микро средней энергией).

Связь с температурой

Экспериментально вводится абсолютная температура так, что $\langle E_k\rangle=\tfrac32\,kT,$ где $k$ — постоянная Больцмана. Тогда $p=\tfrac{2}{3}n\left(\tfrac32 kT\right)=n k T,\qquad pV=NkT.$ С использованием количества вещества $n_{mol}$ и $R=N_A k$: $pV=n_{mol}\,R\,T.$

Характерные скорости (Максвелл)

Для равновесного идеального газа (максвелловское распределение по скоростям) вводят: $v_{p}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}},\qquad v_{avg}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}},\qquad v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}.$ Связь с основным уравнением МКТ: $p=\tfrac13\,n\,m_0\,v_{rms}^2.$

Внутренняя энергия идеального газа

Для одноатомного идеального газа (поступательное движение, 3 степени свободы): $U=\tfrac32\,N k T=\tfrac32\,n_{mol} R T.$ Для системы с общим числом степеней свободы $f$ (при данной температуре активных): $\langle E\rangle=\tfrac{f}{2}kT,\qquad U=\tfrac{f}{2}N k T.$

Замечания и границы применимости

• Модель корректна при невысоких плотностях и не слишком низких температурах (пренебрежимы объём частиц и их притяжение).
• Отклонения реальных газов описывают расширенные уравнения состояния (например, ван-дер-Ваальса).

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$p=\tfrac13\,n\,m_0\,\langle v^2\rangle$

$p=\tfrac{2}{3}\,n\,\langle E_k\rangle,\qquad pV=\tfrac{2}{3}\,N\,\langle E_k\rangle$

$\langle E_k\rangle=\tfrac32\,kT$

$pV=NkT=n_{mol}RT$

$v_{p}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}},\quad v_{avg}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}},\quad v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

$U=\tfrac32\,NkT\ (\text{одноатомный}),\quad U=\tfrac{f}{2}\,NkT\ (\text{общий случай})$