Мгновенная и средняя скорости неравномерного движения

Путь, перемещение, время

• Путь: обозначаем через $s$ — длина траектории за интервал времени.
• Перемещение: на прямой $\Delta x = x(t_2) - x(t_1)$.
• Длительность интервала: $\Delta t = t_2 - t_1 > 0$.
• Всегда $s \ge |\Delta x|$ ; равенство, если движение без разворотов по прямой.

Средние скорости

• Средняя скорость по перемещению (векторно на прямой сводится к знаковой величине): $v_{sr} = \frac{\Delta x}{\Delta t}.$
• Средняя путевая скорость (скаляр): $v_{p} = \frac{s}{\Delta t}.$
• Связь: $v_{p} \ge |\,v_{sr}\,|,$ равенство — если знак скорости не менялся (без возвратов).

Мгновенные величины

• Мгновенная скорость на прямой: $v(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}.$
• Модуль мгновенной путевой скорости совпадает с модулем $v(t)$: $|v(t)| = \frac{ds}{dt}.$

Пространственный случай (для полноты)

• В плоскости: $x=x(t)$, $y=y(t)$, $v(t) = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }.$
• В пространстве добавляется $z=z(t)$: $v(t) = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2 }.$

Интегральный смысл и графики

• Перемещение на прямой: \Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(\tau)\,d\tau \quad \text{(с учётом знака v)}.
• Путь: $s = \int_{t_1}^{t_2} |\,v(\tau)\,|\,d\tau.$
• Тогда $v_{sr} = \frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2} v(\tau)\,d\tau, \qquad v_{p} = \frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2} |\,v(\tau)\,|\,d\tau.$
• Геометрия: площадь под графиком $v(t)$ на $[t_1,t_2]$ даёт $\Delta x$, под графиком $|v(t)|$ — путь $s$ ; наклон графика $x(t)$ равен $v(t)$.

Полезные частные случаи

• Если $v(t)\equiv v_0$ и знак не меняется, то $v_{p}=|v_0|$ и $|v_{sr}|=|v_0|$.
• Если знак $v$ менялся (были развороты), то $s$ растёт быстрее, чем $|\Delta x|$, поэтому $v_p > |v_{sr}|$.

Типичные ошибки

• Путать $v_{sr}$ и $v_p$ (векторная средняя скорость по перемещению vs. скалярная средняя путевая).
• Считать $v_p$ простым средним арифметическим мгновенных $v(t)$ — корректно только как среднее по времени через интеграл.
• Игнорировать смену знака $v$ при вычислении $\Delta x$ и $s$.