Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение.Перемещение при равноускоренном движении. Геометрический смысл перемещения при равноускоренном движении.

Ускорение — мера изменения скорости: $a=\dfrac{dv}{dt}$ , единицы $[\!a]=\text{м/с}^2$ .
Скорость — производная координаты по времени: $v=\dfrac{dx}{dt}$ , $[\!v]=\text{м/с}$ .
Перемещение на оси $Ox$ : $\Delta x = x - x_0$ (векторная величина со знаком).
Равноускоренное движение: ускорение постоянно по величине и направлению, $a=\text{const}$ .
$a>0$ — скорость по модулю возрастает в сторону положительной оси.
$a<0$ — замедление (скорость по модулю убывает, если направление скорости и ось выбраны одинаково).

Для момента $t_0$ и начальных условий $x(t_0)=x_0$ , $v(t_0)=v_0$ :

Скорость от времени: $v(t)=v_0+a\,(t-t_0)$ .
Координата от времени: $x(t)=x_0+v_0\,(t-t_0)+\dfrac{a}{2}\,(t-t_0)^2$ .
При $t_0=0$ : $v(t)=v_0+at$ , $\,x(t)=x_0+v_0 t+\dfrac{a}{2}t^2$ .
Безвременная формула (исключая $t$ ): $v^2=v_0^2+2a\,\Delta x$ , где $\Delta x=x-x_0$ .

Перемещение за время $t$ (от $t_0$ ): $\Delta x=v_0\,(t-t_0)+\dfrac{a}{2}\,(t-t_0)^2.$
Средняя скорость по перемещению на интервале $[t_0,t]$ : $v_{\text{ср}}=\dfrac{\Delta x}{t-t_0}.$
Для постоянного ускорения: $v_{\text{ср}}=\dfrac{v_0+v}{2},$ где $v$ — скорость в конце интервала.
Геометрический смысл $\Delta x$ : площадь под графиком $v(t)$ .
При $a=\text{const}$ график $v(t)$ — прямая, а $\Delta x$ — площадь трапеции: $\Delta x=\dfrac{(v_0+v)}{2}\,(t-t_0).$

Время достижения заданной скорости $v$ : $t-t_0=\dfrac{v-v_0}{a}.$
Если $a<0$ и тело тормозит до $v=0$ : $t_{\text{stop}}=\dfrac{-v_0}{a},\qquad s_{\text{stop}}=\Delta x\Big|_{v\to 0}=\dfrac{v^2-v_0^2}{2a}=\,-\,\dfrac{v_0^2}{2a}.$ (Знак $a<0$ делает $s_{\text{stop}}>0$ .)

Перемещение за $n$ -ю секунду (интервал от $n-1$ до $n$ секунд при $t_0=0$ ): $s_n=x(n)-x(n-1)=v_0+\dfrac{a}{2}\,(2n-1)=v_0+a\left(n-\dfrac12\right).$
Средняя путевая скорость для монотонного движения (без разворота): $v_{\text{п}}=\dfrac{s}{t}=\left|\dfrac{\Delta x}{t}\right|,\quad \text{а при } a=\text{const: }\ v_{\text{п}}=|v_{\text{ср}}|=\left|\dfrac{v_0+v}{2}\right|.$
Смена знака скорости (разворот) происходит, когда $v(t^\*)=0$ , то есть $t^\*=-\dfrac{v_0}{a}$ (при $v_0\,a<0$ ) . После разворота траектория остаётся прямой, но направление меняется.

** $v(t)$ ** — прямая: $v(t)=v_0+at$ . Наклон равен $a$ . Пересечение с осью $t$ при $v=0$ даёт момент остановки/разворота.
$x(t)$ — парабола: $x(t)=x_0+v_0 t+\dfrac{a}{2}t^2$ .
При $a>0$ — ветви вверх (ускорение), при $a<0$ — ветви вниз (замедление).
Касательная к графику $x(t)$ в каждой точке имеет наклон $v(t)$ .
** $a(t)$ ** — горизонтальная линия: $a(t)=\text{const}$ .

Ось $Ox$ выбирайте вдоль траектории, направление произвольно:
Если движение «вперёд», удобно брать $v_0>0$ .
Торможение означает $a$ противоположно направлению скорости ( $a<0$ при выбранном направлении оси).
Всегда проверяйте согласованность знаков в формулах:
Если по формуле $v^2=v_0^2+2a\,\Delta x$ получилось $v^2<0$ , значит противоречие в исходных данных или неверный знак.

При движении вдоль вертикали используйте $a=\pm g$ .
Если ось $Oy$ направлена вверх, то свободное падение: $a=-g$ , $g\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2$ .
Бросок вверх: $v(t)=v_0-gt$ , $\,y(t)=y_0+v_0 t-\dfrac{g}{2}t^2$ .
Максимальная высота при броске вверх: $v=0\ \Rightarrow\ t_{\text{восх}}=\dfrac{v_0}{g},\quad h_{\max}-y_0=\dfrac{v_0^2}{2g}.$
Падение из состояния покоя $(v_0=0)$ : $v=gt$ , $\,s=\dfrac{g}{2}t^2$ (если вниз — положительное направление).

Путаница между путём $s$ и перемещением $\Delta x$ (при разворотах $s\neq|\Delta x|$ ).
Неверная конвертация единиц (км/ч $\leftrightarrow$ м/с): $1\ \text{м/с}=3{,}6\ \text{км/ч}$ .
Игнорирование знаков $v_0$ , $a$ , $\Delta x$ при использовании $v^2=v_0^2+2a\,\Delta x$ .
Удобный приём: если известны $v_0$ , $v$ , $t$ — используйте трапецию: $\Delta x=\dfrac{v_0+v}{2}\,t.$
При торможении до остановки: быстро оценивайте $t_{\text{stop}}=\dfrac{-v_0}{a}$ и $s_{\text{stop}}=-\dfrac{v_0^2}{2a}$ .

Равноускоренное прямолинейное движение