Равновесие тел

(Статика. Рассматриваем материальные точки и абсолютно твёрдые тела. Все формулы — в СИ.)

Понятие равновесия

• Равновесие — состояние тела, при котором его скорость и угловая скорость постоянны. В статике подразумевается покой: $\vec v=\vec 0$, $\vec\omega=\vec 0$.
• Геометрические условия равновесия заменяются условиями равенства нулю:
• суммы сил,
• суммы моментов сил.

Основные условия равновесия

2.1 Для точки (или системы сходящихся сил)

$\sum \vec F = \vec 0.$

2.2 Для плоской системы сил (твёрдое тело в плоскости)

$\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M_O = 0,$ где $M_O$ — алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки $O$ в плоскости.

2.3 Для пространственной системы сил

$\sum F_x=\sum F_y=\sum F_z=0,\qquad \sum M_x=\sum M_y=\sum M_z=0.$

Важно: Условие $\sum \vec F=\vec 0$ необходимо, но для твёрдого тела недостаточно: нужно ещё $\sum \vec M = \vec 0$.

Момент силы и пара сил

• Момент силы $\vec M_O$ относительно точки $O$: $\vec M_O = \vec r_{O\!A}\times \vec F,\qquad M_O = F\,d,$ где $d$ — плечо силы (перпендикуляр от $O$ к линии действия силы).
• Пара сил (две равные по модулю, параллельные и противоположные силы с разными линиями действия) создаёт чистый момент: $M = F\,d,\quad \text{направление по правилу буравчика}.$ Момент пары не зависит от выбора точки отсчёта.

Вес и центр тяжести

• В однородном поле тяжести вес $\vec P = m\vec g$ можно прикладывать в центре масс (центре тяжести) тела.
• Для однородных тонких стержней/пластин центр тяжести совпадает с геометрическим центром (середина, пересечение диагоналей и т.п.).

Реакции связей и трение (модель)

• Гладкая опора: нормальная реакция $N$ перпендикулярна поверхности.
• Нить: натяжение $T$ вдоль нити, тянет тело.
• Шарнир/ось: реакции $R_x, R_y$ (и $M$ — если есть заделка).
• Сухое трение:
• покоя: $|F_{tr}|\le \mu_s N$ (самонастраивается, срыв при $|F_{tr}|=\mu_s N$);
• скольжения: $F_{tr}=\mu_k N$ (против относительного движения).

Частные случаи и «быстрые» критерии

• Рычаг: равновесие моментов относительно опоры $F_1\,l_1 = F_2\,l_2.$
• Однородная балка на двух опорах: $\sum F_y=0$, $\sum M_{O_1}=0$ (получим реакции опор $R_1, R_2$).
• Наклонная плоскость с трением (покой): $mg\sin\alpha \le \mu_s\, mg\cos\alpha \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha \le \mu_s.$
• Висящее тело на двух нитях: применяем $\sum F_x=\sum F_y=0$; удобно использовать синусы/косинусы углов нитей.

Теорема Вариньона (удобство вычислений)

Момент результирующей равен сумме моментов составляющих сил относительно любой точки: $M_O(\sum \vec F) \equiv \sum M_O(\vec F_i).$ Позволяет брать момент относительно точки, где «исчезают» реакции (их плечо ноль), чтобы исключить неизвестные.

Теорема Лами (для трёх сходящихся сил)

Если три силы $\vec F_1,\vec F_2,\vec F_3$ держат точку в равновесии и их линии действия сходятся в одной точке, то $\frac{F_1}{\sin\alpha_1}=\frac{F_2}{\sin\alpha_2}=\frac{F_3}{\sin\alpha_3},$ где $\alpha_i$ — угол между двумя другими силами (то есть угол, «противоположный» силе $F_i$).

Устойчивость равновесия

• Устойчивое: при малом отклонении тело возвращается (минимум потенциальной энергии).
• Неустойчивое: малое отклонение уводит дальше (максимум $U$).
• Безразличное: $U$ не меняется при малых смещениях.
• Критерий опрокидывания: вертикальная проекция центра тяжести должна падать внутрь контура опоры. Потеря равновесия — когда линия действия веса выходит за пределы опоры.

Порядок решения задач на равновесие (алгоритм)

1. Свободная диаграмма тела (FBD): отделите тело, покажите все силы (включая реакции и трение).
2. Выбор осей и точки момента: так, чтобы упростить уравнения (исключить неизвестные).
3. Запись уравнений статики: в плоском случае — два по силам и одно по моменту.
4. Учёт трения: до срыва $|F_{tr}|\le \mu_s N$; при срыве/скольжении $F_{tr}=\mu_k N$.
5. Проверка решения: знаки (направления), предельные случаи, размерности.

Типичные ошибки

• Удовлетворяют $\sum \vec F=\vec 0$, но забывают про $\sum \vec M=\vec 0$ (и наоборот).
• Неверно задают плечо силы: берут расстояние до точки, а не перпендикуляр к линии действия.
• Реакцию гладкой опоры рисуют не перпендикулярно поверхности.
• Подставляют $F_{tr}=\mu N$ без проверки режима покоя ($|F_{tr}|\le \mu_s N$).
• Пренебрегают весом длинного стержня/балки (его нужно прикладывать в центре тяжести).