Движение тела по окружности

(Считаем движение в плоскости, радиус окружности $r$ постоянен. Все формулы — в СИ. Знак «в сторону центра» будем называть «по нормали».)

Угловые величины и связь с линейными

Угол поворота: $\,\varphi(t)$ в радианах.

Угловая скорость: $\,\omega=\dfrac{d\varphi}{dt}$.

Угловое ускорение: $\,\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}$.

Дуга: $\,s=r\varphi$.

Линейная скорость (по касательной): $\,v=\dfrac{ds}{dt}=r\,\omega$.

Линейное (тангенциальное) ускорение: $\,a_\tau=\dfrac{dv}{dt}=r\,\alpha$.

Равномерное движение по окружности ($\omega=\text{const}$)

• Связи: $v=r\omega,\qquad T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.$
• Координаты (центр в начале, оси $Ox,Oy$): $x=r\cos(\omega t+\varphi_0),\quad y=r\sin(\omega t+\varphi_0).$
• Ускорение чисто нормальное (к центру): $a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r,\qquad \vec a=a_n\,\vec n \ \ (\vec n\ \text{к центру}).$ Направление $\vec v$ — по касательной, перпендикулярно $\vec r$ и $\vec a$.

Неравномерное круговое движение ($\alpha\neq 0$)

• Полное ускорение раскладывается на две взаимно перпендикулярные компоненты: $\vec a = a_\tau\,\vec \tau + a_n\,\vec n,\qquad a_\tau=r\alpha,\qquad a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r.$
• Модуль: $|\vec a|=\sqrt{(r\alpha)^2+\left(\frac{v^2}{r}\right)^2}.$

Динамика кругового движения (условие сил)

Пусть суммарная сила вдоль касательной $\,\Sigma F_\tau$ и вдоль нормали $\,\Sigma F_n$ (к центру положительно).

• По второму закону Ньютона: $\Sigma F_\tau = m a_\tau = m r\alpha,\qquad \Sigma F_n = m a_n = m\frac{v^2}{r}=m\omega^2 r.$
• Чисто «центростремительная» составляющая $\,\Sigma F_n$ не меняет модуль скорости, а лишь её направление. Работа чисто нормальной силы равна нулю: $P=\Sigma F_n\,v\cos 90^\circ=0$.

Примеры типовых схем

5.1 Горизонтальный круг: конусный маятник

Нить длиной $\ell$, угол отклонения от вертикали $\theta$, радиус окружности $r=\ell\sin\theta$, скорость $v$.

• Проекции на вертикаль/горизонталь: $T\cos\theta=mg,\qquad T\sin\theta=\frac{m v^2}{r}.$
• Отсюда $\tan\theta=\frac{v^2}{g r}=\frac{\omega^2 r}{g},\qquad \omega^2=\frac{g}{\ell\cos\theta}.$

5.2 Вираж без трения (автодорога, трек)

Угол наклона полотна $\phi$, радиус $r$, скорость $v$.

• Равновесие по нормали: $N\sin\phi=\dfrac{m v^2}{r}$, по вертикали: $N\cos\phi=mg$.
• Условие на «правильную» скорость: $\tan\phi=\frac{v^2}{g r}\ \ \Rightarrow\ \ v=\sqrt{g r\,\tan\phi}.$ При этой скорости сцепление не требуется (трение не работает).

5.3 Вертикальная окружность (нить/рельс, «мертвая петля»)

Пусть радиус $r$, внизу скорость $v_b$, вверху $v_t$.

• Натяжение нити/реакция опоры:
• внизу: $T_b - mg = \dfrac{m v_b^2}{r}\ \Rightarrow\ T_b=\dfrac{m v_b^2}{r}+mg$;
• вверху: $T_t + mg = \dfrac{m v_t^2}{r}\ \Rightarrow\ T_t=\dfrac{m v_t^2}{r}-mg$.
• Условие неотрыва вверху: $T_t\ge 0 \Rightarrow v_t\ge \sqrt{g r}$.
• Минимальная скорость внизу для полного оборота (по энергии: $v_t^2=v_b^2-4gr$): $v_b \ge \sqrt{5 g r}.$

Уравнения углового движения при постоянном $\alpha$

Аналог кинематики с постоянным ускорением: $\varphi(t)=\varphi_0+\omega_0 t+\frac{\alpha t^2}{2},\qquad \omega(t)=\omega_0+\alpha t,\qquad \omega^2-\omega_0^2=2\alpha(\varphi-\varphi_0).$ Линейные величины: $\,s=r\varphi$, $\,v=r\omega$, $\,a_\tau=r\alpha$.

Энергетика и мощность

• Если касательная сила $F_\tau$ действует при скорости $v$, мгновенная мощность $P=F_\tau\,v$.
• Чисто нормальная сила работу не совершает; изменение кинетической энергии вызвано только касательной составляющей сил.

Криволинейное движение общего вида (замечание)

Для любой гладкой траектории радиус кривизны $\rho$ в данной точке играет роль «эффективного радиуса окружности». Тогда $a_n=\dfrac{v^2}{\rho}$. Для круговой траектории $\rho=r=\text{const}$.

Типичные ошибки

• Путать $a_n=\dfrac{v^2}{r}$ с $a_\tau$ и считать, что при постоянной скорости ускорения нет. Есть: нормальное ускорение не равно нулю.
• Считать, что «центробежная сила» действует в ИСО. В инерциальной системе есть центростремительная составляющая суммарной внешней силы к центру; «центробежная» появляется лишь в неинерциальной (вращающейся) системе отсчёта.
• Забывать, что на вертикальной окружности натяжение вверху может стать нулевым (отрыв), если $v_t<\sqrt{gr}$.
• Путать формулы для виража: без трения $\tan\phi=v^2/(gr)$; с трением — другие соотношения.

Ключевые формулы (сводка)

$\begin{aligned} &v=r\omega,\quad a_\tau=r\alpha,\quad a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r,\\[4pt] &\Sigma F_\tau = m r \alpha,\quad \Sigma F_n = m \frac{v^2}{r},\\[4pt] &T=\frac{2\pi}{\omega},\quad f=\frac{\omega}{2\pi},\quad s=r\varphi,\\[4pt] &\text{вираж (без трения): } \tan\phi=\frac{v^2}{gr},\\[4pt] &\text{вертикальный круг: } T_b=\frac{m v_b^2}{r}+mg,\ \ T_t=\frac{m v_t^2}{r}-mg,\ \ v_t\ge\sqrt{gr},\ \ v_b\ge\sqrt{5gr}. \end{aligned}$