Движение тел под действием нескольких сил

(Рассматриваем материальную точку/жёсткое тело малого размера. Все формулы — в СИ. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, если не оговорено.)

Второй закон Ньютона для нескольких сил

• Векторная форма: $\sum \vec F = m\,\vec a.$
• По осям (удобно выбирать оси по направлению возможного движения): $\sum F_x = m a_x,\qquad \sum F_y = m a_y,\qquad \sum F_z = m a_z.$
• Если результирующая постоянна, движение равноускоренное; если нулевая — равномерное/покой.

«Свободная диаграмма тела» (FBD)

1. Выделите тело и замените связи на силы: тяжесть $m g$ (вниз), нормальная реакция $N$ (перпендикулярно опоре), трение $F_{tr}$ (по касательной, против относит. движения/угрозы), сила упругости $k x$, натяжение $T$, внешняя тяга/толчок $F$, Архимедова сила $F_A$ (вверх), и т.п.
2. Отметьте направление возможного ускорения и задайте оси.
3. Запишите $\sum \vec F = m\vec a$ по проекциям.

Типовые силы и реакции (краткий справочник)

• Тяжесть: $F_g = m g$ (вниз).
• Нормаль опоры: $N$ (перпендикулярно поверхности).
• Трение:
• покоя: $F_{tr}\le \mu_s N$, максимум $F_{tr}^{\max}=\mu_s N$;
• скольжения: $F_{tr}=\mu_k N$ (против относительной скорости).
• Упругость пружины: $F_{upr}=-k x$ (против смещения от равновесия).
• Натяжение нити: $T$ (вдоль нити, одинаково везде для идеальной нити и блока).
• Архимедова: $F_A=\rho g V_{выт}$ (вверх).
• Вязкое сопротивление (модель): $F_{visc}=-b v$.

Горизонтальная поверхность: несколько сил

4.1 Тянут силой $F$ под углом $\beta$ вверх к горизонту

• Проекции: $F_x=F\cos\beta$, $F_y=F\sin\beta$.
• Нормаль: $N = m g - F\sin\beta$.
• Скольжение равномерное ($a=0$): $F\cos\beta = \mu_k\,N = \mu_k\,(m g - F\sin\beta)\ \Rightarrow\ F=\frac{\mu_k m g}{\cos\beta+\mu_k\sin\beta}.$
• При движении с ускорением: $m a = F\cos\beta - \mu_k (m g - F\sin\beta).$

4.2 Толкают под углом $\beta$ вниз к плоскости

• $N = m g + F\sin\beta$, поэтому для равномерного: $F=\frac{\mu_k m g}{\cos\beta-\mu_k\sin\beta}\quad(\cos\beta>\mu_k\sin\beta).$

Наклонная плоскость (угол $\alpha$ к горизонту)

• Разложение тяжести: вдоль плоскости $m g\sin\alpha$, перпендикулярно $N = m g\cos\alpha$.
• Без тяги, с трением скольжения: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)\quad(\text{вниз по плоскости}).$
• Если тело движется вверх (толчком/тягой), замедление: $a = -\,g(\sin\alpha + \mu_k\cos\alpha).$
• Порог сползания из покоя: $\tan\alpha_{pred} = \mu_s.$

Связанные тела (несколько тел, одна система)

6.1 Два бруска на гладком столе, соединённые нитью; к $m_1$ приложена сила $F$

• Общая масса $M=m_1+m_2$. Тогда $a=\frac{F}{m_1+m_2},\qquad T = m_2\,a = \frac{m_2}{m_1+m_2}\,F.$ (Также $T=F-m_1 a$ — эквивалентно.)

6.2 Машина Атвуда (идеальная нить и блок), $m_1>m_2$

• Уравнения: $m_1 g - T = m_1 a$, $T - m_2 g = m_2 a$.
• Решение: $a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2},\qquad T=\frac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2}\,g.$

6.3 Брусок $m$ на наклонной (угол $\alpha$) соединён нитью через блок с грузом $M$ (вертикально), трение $\mu_k$

• Ось положительна «вниз для $M$ и вверх по плоскости для $m$». Тогда $a=\frac{M g - m g\sin\alpha - \mu_k m g\cos\alpha}{M+m},$ $T = M g - M a = m g\sin\alpha + \mu_k m g\cos\alpha + m a.$ Знак $a$ по результату подскажет фактическое направление движения.

Импульс, работа и энергия при нескольких силах

• Импульс: $\vec p = m\vec v$, импульсная форма: $\sum \vec F\,\Delta t = \Delta \vec p.$
• Теорема об изменении кинетической энергии: $\sum A_i = \Delta K = \frac12 m v^2 - \frac12 m v_0^2.$ Здесь сумма работ всех сил (консервативных и неконсервативных).
• Для консервативных сил удобно ввести потенциальную энергию $U$ и использовать: $\Delta(K+U)=\sum A_{\text{неконс.}}\quad(\text{например, }A_{tr}=-\mu_k N\,s).$
• Мощность суммарной силы: $P=\sum \vec F_i\cdot \vec v$.

Центр масс и «внешние силы»

• Для системы тел полной массой $M$: $M\,\vec a_{CM} = \sum \vec F_{\text{внеш}}.$ Внутренние силы (попарные по III закону) сокращаются: они не ускоряют центр масс.

Алгоритм решения задач

1. Нарисуйте FBD для каждого тела.
2. Выберите оси (на наклонной — вдоль/перпендикулярно плоскости).
3. Запишите $\sum F = m a$ по проекциям; учтите законы трения, Гука, связи нитей/колёс (одинаковое $T$ и отношения ускорений).
4. Добавьте геометрические/кинематические связи (например, равенство модулей ускорений звеньев нити).
5. Решите систему уравнений; проверьте предельные случаи ($\mu=0$, $F=0$, $m_1=m_2$ и т.п.).

Частые ошибки

• Путают знак трения: оно против относительного движения или его угрозы.
• Забывают, что $N$ меняется при тяге под углом ($N\neq m g$) и на наклонной ($N=m g\cos\alpha$).
• В системах тел принимают внутренние силы за внешние при применении уравнения для центра масс.
• Подставляют $F_{tr}=\mu N$ до проверки режима покоя: сперва $F_{tr}\le \mu_s N$.
• Для пружины путают смещение $x$ от нуля с смещением от равновесия.

Ключевые «формулы-шаблоны»

• $\sum \vec F = m\vec a$; по осям $\sum F_i = m a_i$.
• Горизонталь, тяга под углом: $N=m g - F\sin\beta$, $m a = F\cos\beta - \mu_k N$.
• Наклонная: $N=m g\cos\alpha$, $a=g(\sin\alpha-\mu_k\cos\alpha)$ (вниз).
• Два бруска на столе: $a=F/(m_1+m_2)$, $T=m_2 a$.
• Атвуд: $a=\dfrac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}$, $T=\dfrac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2}\,g$.
• Теорема о работе: $\sum A_i=\Delta K$; с потенциалом: $\Delta(K+U)=\sum A_{\text{неконс.}}$.