Движение тел под действием силы трения

(Рассматриваем сухое трение; сопротивлением воздуха пренебрегаем, если не указано иное. Ось $Ox$ — по поверхности, $Oy$ — вертикально вверх.)

Виды и модели сухого трения

• Трение покоя (до начала скольжения): сила самонастраивается $F_{tr} \le \mu_s\,N,\qquad F_{tr}\ \text{против угрозы относительного движения}.$ Порог срыва: $F_{tr}^{\max}=\mu_s N$.
• Трение скольжения (при относительном скольжении): $F_{tr}=\mu_k\,N,\qquad \vec F_{tr}\ \text{против направления относительной скорости}.$ Обычно $\mu_s>\mu_k$. Коэффициенты безразмерны.
• Нормальная реакция на горизонтали: $N=m g$; на наклонной плоскости под углом $\alpha$: $N=m g\cos\alpha$.

Горизонтальная поверхность: уравнения движения

2.1 Тянут постоянной горизонтальной силой $F$

• Если тело покоится: движение начнётся, когда $F>\mu_s\,m g$.
• При скольжении: вдоль $Ox$ $m a = F - \mu_k m g\quad\Rightarrow\quad a=\frac{F}{m}-\mu_k g.$ Равномерно ($a=0$) при $F=\mu_k m g$.

2.2 Тело скользит без тяги ($F=0$), начальная скорость $v_0$

• Ускорение: $a=-\mu_k g$ (против движения).
• Законы движения: $v(t)=v_0-\mu_k g\,t,\qquad x(t)=x_0+v_0 t-\frac{\mu_k g\,t^2}{2}.$
• Время остановки и тормозной путь: $t_\ast=\frac{v_0}{\mu_k g},\qquad s_\ast=\frac{v_0^2}{2\mu_k g}.$
• По энергии: работа трения $A_{tr}=-F_{tr}\,s=-\mu_k m g\,s=\Delta\!\left(\tfrac12 m v^2\right)$.

2.3 Тяга под углом $\beta$ к горизонту (верёвкой вверх; $0\le\beta\le 90^\circ$)

• Нормальная реакция: $N=m g - F\sin\beta$ (тяга «облегчает»).
• При равномерном скольжении: $F\cos\beta=\mu_k\big(m g - F\sin\beta\big) \ \Rightarrow\ F=\frac{\mu_k m g}{\cos\beta+\mu_k\sin\beta}.$
• Если толкают вниз под углом $\beta$ (вниз к плоскости): $N=m g+F\sin\beta$ — трение больше.

Наклонная плоскость с углом $\alpha$

3.1 Проекции сил

• Вдоль плоскости (вниз): $m g\sin\alpha$.
• Перпендикулярно плоскости: $N = m g\cos\alpha$.

3.2 Скольжение вниз под действием тяжести и трения скольжения

$m a = m g\sin\alpha - \mu_k m g\cos\alpha \ \Rightarrow\ a = g\big(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha\big).$

3.3 Движение вверх (например, толкнули и отпустили)

$a = -\,g\big(\sin\alpha + \mu_k\cos\alpha\big),$ то есть тело замедляется быстрее, чем без трения.

3.4 Начало движения (трение покоя)

• Без внешней тяги: тело начнёт сползать вниз, если $m g\sin\alpha > \mu_s m g\cos\alpha\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha > \mu_s.$ При $\tan\alpha \le \mu_s$ — покой.
• Минимальная сила вверх вдоль плоскости, чтобы сдвинуть тело из покоя: $F_{\min,\uparrow} = m g\big(\sin\alpha + \mu_s\cos\alpha\big).$
• Минимальная сила вниз вдоль плоскости, чтобы сдвинуть вверх стоящее (удерживаемое трением) тело: $F_{\min,\downarrow} = m g\big(\mu_s\cos\alpha - \sin\alpha\big)\quad(\text{если } \mu_s\cos\alpha>\sin\alpha).$

Работа и мощность трения

• При скольжении на пути $s$ (постоянные $N$ и $\mu_k$): $A_{tr} = -F_{tr}\,s = -\mu_k N\,s.$
• Мощность сил трения при мгновенной скорости $v$: $P_{tr} = \frac{dA_{tr}}{dt} = -F_{tr}\,v.$

Трение и круговое/качение (кратко)

• Статическое трение может обеспечивать отсутствие скольжения (например, колесо катится без проскальзывания). Тогда по касательной $|F_{tr}|\le \mu_s N$; при превышении — срыв и скольжение.
• Сопротивление качению в школьных задачах часто моделируют эффективной силой $F_{кач}\approx \mu_r N$ (или моментом сопротивления); обычно $\,\mu_r\ll \mu_k$.

Типичные модели задач и ответы «на смотр»

• Горизонталь, скольжение без тяги: $a=-\mu_k g$, $t_\ast=\dfrac{v_0}{\mu_k g}$, $s_\ast=\dfrac{v_0^2}{2\mu_k g}$.
• Наклон вниз: $a=g(\sin\alpha-\mu_k\cos\alpha)$; равномерное скольжение ($a=0$) при $\tan\alpha=\mu_k$.
• Порог срыва покоя на наклонной: $\tan\alpha_{pred}=\mu_s$.
• Тяга под углом вверх на горизонтали: $F=\dfrac{\mu_k m g}{\cos\beta+\mu_k\sin\beta}$.

Частые ошибки

• Подставляют $F_{tr}=\mu N$ до проверки срыва ($F_{tr}\le\mu_s N$ в покое).
• Неверно задают направление трения: оно всегда против относительного движения (или угрозы такового).
• Забывают, что $N$ меняется при тяге под углом и на наклонной ($N\neq m g$).
• Путают $\mu_s$ и $\mu_k$; принимают $\mu_s=\mu_k$ без основания.