Движение тел под действием силы упругости

(Рассматриваем пружину без массы, в пределах упругих деформаций; сопротивлением среды пренебрегаем, если не указано иное.)

Сила упругости пропорциональна деформации и направлена против смещения от положения равновесия: $F_{upr} = -k\,x$ , где $k$ — жёсткость пружины, $x$ — смещение груза от положения равновесия (ось $x$ вдоль пружины, $x>0$ — растяжение).
Единицы: $[k] = \text{Н/м}$ .

По второму закону Ньютона: $m\,\ddot x = -k\,x$ .
Приводим к стандартному виду гармонического осциллятора: $\ddot x + \omega^2 x = 0$ , где $\omega = \sqrt{k/m}$ — собственная циклическая частота.
Общее решение: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$ , $v(t) = \dot x = -A\,\omega \sin(\omega t + \varphi)$ , $a(t) = \ddot x = -\omega^2 x(t)$ .
Период и частота: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ , $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$ .

Пусть при $t=0$ : $x(0)=x_0$ , $v(0)=v_0$ .
Амплитуда: $A = \sqrt{x_0^2 + \left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2 }$ .
Фаза: $\tan\varphi = -\,\dfrac{v_0}{\omega x_0}$ (учесть четверть по знакам $x_0$ и $v_0$ ).
Частные случаи:
Отпускание из покоя из смещения $x_0$ : $x(t)=x_0\cos\omega t$ .
Старт из равновесия с $v_0$ : $x(t)=\dfrac{v_0}{\omega}\sin\omega t$ .

Потенциальная энергия пружины: $E_{pr} = \dfrac12 k x^2$ .
Кинетическая энергия груза: $E_k = \dfrac12 m v^2$ .
Полная энергия сохраняется: $E = E_k + E_{pr} = \text{const} = \dfrac12 k A^2$ .
Работа силы упругости при переходе $x_1 \to x_2$ : $A_{upr} = -\dfrac12 k\,(x_2^2 - x_1^2)$ .

Для груза массы $m$ , висящего на пружине вертикально, положение статического равновесия задаёт $k\,x_{eq} = m g \Rightarrow x_{eq} = \dfrac{m g}{k}$ (вниз положительно).
Малые колебания относительно $x_{eq}$ описываются теми же формулами, что и в горизонтальном случае, с той же $\omega = \sqrt{k/m}$ .
Уравнение для смещения относительно равновесия $y = x - x_{eq}$ : $\ddot y + \omega^2 y = 0$ .

Сила сопротивления: $F_{tr} = -b\,\dot x$ (линейная модель).
Уравнение: $m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = 0$ .
Обозначим $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $\beta = \dfrac{b}{2m}$ .
Недокритическое затухание ( $\beta < \omega_0$ ): $x(t) = A\,e^{-\beta t}\cos(\omega t + \varphi)$ , где $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$ .
Критическое ( $\beta=\omega_0$ ) и перекритическое ( $\beta>\omega_0$ ): колебаний нет, апериодическое возвращение к равновесию.

При внешней силе $F_{ext} = F_0 \cos(\Omega t)$ : $m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = F_0 \cos(\Omega t)$ .
В установившемся режиме амплитуда максимальна при частоте около $\Omega \approx \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$ (резонанс; без трения — при $\Omega = \omega_0$ ).

Последовательное соединение: $\dfrac{1}{k_{eq}} = \sum \dfrac{1}{k_i}$ .
Параллельное соединение: $k_{eq} = \sum k_i$ .
Период для системы массы $m$ на эквивалентной пружине: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{eq}}}$ .

$x(t)$ — синусоида/косинусоида; $v(t)$ сдвинут по фазе на $\pi/2$ : нули $x$ соответствуют экстремумам $|v|$ , и наоборот.
$E_{pr}(t)$ и $E_k(t)$ попеременно превращаются, $E=\text{const}$ .

Путать $x$ от нулевого уровня с $y=x-x_{eq}$ в вертикальной задаче.
Забывать знак минус в $F_{upr}=-k x$ и в уравнении $\ddot x + \omega^2 x = 0$ .
Подставлять $g$ в формулы периода для горизонтальной пружины (период не зависит от $g$ ).
Использовать формулы без проверки, что деформации малы (закон Гука должен выполняться).

$F_{upr} = -k x$ ; $\omega = \sqrt{k/m}$ ; $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ ; $f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$ .
$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$ ; $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)$ ; $a(t) = -\omega^2 x(t)$ .
$E_{pr} = \dfrac12 k x^2$ , $E_k = \dfrac12 m v^2$ , $E = \dfrac12 k A^2$ .
Вертикальная пружина: $x_{eq} = \dfrac{mg}{k}$ , малые колебания вокруг $x_{eq}$ с той же $\omega$ .
С трением: $m\ddot x + b\dot x + k x = 0$ , при $b<2\sqrt{km}$ амплитуда спадает как $e^{-\beta t}$ , где $\beta = \dfrac{b}{2m}$ .