Движение тел под действием силы тяжести

(Пренебрегаем сопротивлением воздуха; ускорение свободного падения — константа $g \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2$ и направлено вертикально вниз.)

Общие уравнения движения при постоянном $g$

Выберем оси: $Ox$ — горизонтально, $Oy$ — вертикально вверх. Тогда $\vec a = (0,\,-g),\qquad \begin{cases} x(t) = x_0 + v_{0x}\,t,\\[4pt] y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \dfrac{g t^2}{2}, \end{cases} \qquad \begin{cases} v_x(t) = v_{0x},\\[4pt] v_y(t) = v_{0y} - g t. \end{cases}$ Кинематическое соотношение без времени (по $Oy$): $v_y^2 - v_{0y}^2 = -\,2g\,(y - y_0).$

Свободное падение и вертикальный бросок

2.1 Свободное падение ($v_{0y}=0$ вниз из состояния покоя)

Если $y$ отсчитываем вверх, из высоты $h$ до Земли ($y_0=h$, $y=0$): $t = \sqrt{\frac{2h}{g}},\qquad v = g t = \sqrt{2 g h}.$

2.2 Вертикальный бросок вверх ($v_{0y}=v_0>0$)

Уравнения: $y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{g t^2}{2},\qquad v_y(t) = v_0 - g t.$

• Время подъёма до вершины: $t_\uparrow = \dfrac{v_0}{g}$ (там $v_y=0$).
• Максимальная высота относительно точки броска: $H_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}.$
• Если приземление на уровень запуска ($y=y_0$): полный время полёта $T = \frac{2 v_0}{g},$ скорость при возвращении по модулю равна $v_0$ и направлена вниз.

2.3 Вертикальный бросок вниз ($v_{0y}=-v_0<0$)

$y(t) = y_0 - v_0 t - \frac{g t^2}{2},\qquad v_y(t) = -v_0 - g t.$ Если падаем с высоты $y_0=h$ на уровень $y=0$, физически верный корень из $\frac{g}{2}t^2 + v_0 t - h = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g h}}{g}.$

2.4 Общий случай: из высоты $y_0$ на уровень $y=0$ при $v_{0y}$ вверх (знак $+$)

$\frac{g}{2}t^2 - v_{0y} t - y_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}{g}.$

Наклонный бросок (движение под углом к горизонту)

Пусть начальная скорость $\vec v_0$ образует угол $\alpha$ с горизонтом: $v_{0x} = v_0\cos\alpha,\qquad v_{0y} = v_0\sin\alpha.$ При $y_0=0$ (запуск и приземление на одном уровне): $\begin{aligned} &x(t) = v_0\cos\alpha\ t,\\ &y(t) = v_0\sin\alpha\ t - \frac{g t^2}{2}. \end{aligned}$

• Траектория — парабола: $y(x) = x\tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2.$
• Время полёта: $T = \frac{2 v_0\sin\alpha}{g}.$
• Дальность полёта: $L = v_0^2\,\frac{\sin 2\alpha}{g}\quad(\text{максимум при }\alpha=45^\circ).$
• Максимальная высота: $H_{\max} = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.$
• Независимость движений: горизонтальная и вертикальная составляющие движутся независимо; время падения зависит только от вертикального движения.

Частный случай: «горизонтальный выстрел» с обрыва

Если $v_{0y}=0$, $v_{0x}=v_0$, из высоты $h$: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}},\qquad x = v_0\,t = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}.$

Графики (качественно)

• $v_y(t)$ — прямая с угловым коэффициентом $-g$.
• $y(t)$ — парабола (ветви вниз).
• $x(t)$ — прямая (равномерное движение).

Энергетический подход (быстрые оценки)

По закону сохранения энергии вдоль вертикали: $\frac{m v_y^2}{2} + m g y = \frac{m v_{0y}^2}{2} + m g y_0 \ \Rightarrow\ v_y^2 - v_{0y}^2 = -2g\,(y - y_0).$ Отсюда сразу: $H_{\max} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}$.

Когда $g$ уже не «почти постоянна»

Формулы выше справедливы, если высота полёта $h \ll R_\oplus$. При больших высотах используйте $g(h) = g_0\left(\frac{R_\oplus}{R_\oplus + h}\right)^2,$ а лучше — потенциал $U(r)=-\dfrac{G M m}{r}$.

Типичные ошибки

• Неправильный знак $g$ при оси $Oy$ вверх (забывают $-gt^2/2$).
• Смешивают проекции: подставляют $v_0$ вместо $v_{0x}$ и $v_{0y}$.
• Применяют формулы $L$, $T$ и $H_{\max}$ для разного уровня старта/финиша (они верны только для $y_0=0$ и приземления на том же уровне).
• Забывают, что при горизонтальном броске время падения не зависит от $v_{0x}$.

Ключевые формулы (на один взгляд)

\begin{aligned} &\text{Вертикаль:} && y = y_0 + v_{0y} t - \frac{g t^2}{2},\quad v_y = v_{0y} - g t,\\ & && v_y^2 - v_{0y}^2 = -2g\,(y - y_0),\\[4pt] &\text{Свободное падение:} && t=\sqrt{\frac{2h}{g}},\ \ v=\sqrt{2gh},\\[4pt] &\text{Наклонный бросок (y_0=0):} && T=\frac{2 v_0\sin\alpha}{g},\ \ L=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g},\ \ H_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g},\\ & && y(x)=x\tan\alpha-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2. \end{aligned}