Искусственные спутники Земли

Понятие спутника и модель движения

• Искусственный спутник Земли — тело, движущееся вокруг Земли под действием только гравитации (в первом приближении), без тяги и с пренебрежимо малым сопротивлением атмосферы.
• Движение описывается законом всемирного тяготения: сила притяжения Земли создаёт центростремительное ускорение.

Круговая орбита: условие равновесия сил

• На круговой орбите радиуса $r$ требуется равенство $m v^2/r = G M m/r^2$, откуда скорость $v_{\text{circ}}(r) = \sqrt{G M/r}$.
• С учётом $g_0 = G M/R^2$ получаем эквивалентную форму $v_{\text{circ}}(r) = \sqrt{g_0 R^2/r}$.

Первая космическая скорость

• Первая космическая — минимальная горизонтальная скорость для круговой орбиты у поверхности (в идеальном вакууме): $v_1 = \sqrt{G M/R} = \sqrt{g_0 R}$.
• Численно при $g_0 \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2$, $R \approx 6{,}37\cdot 10^6\ \text{м}$: $v_1 \approx 7{,}9\ \text{км/с}$.
• На практике круговая орбита у поверхности невозможна из-за атмосферы; реальные низкие орбиты берут $r = R + h$ и скорость $v_{\text{circ}}(R+h) = \sqrt{G M/(R+h)}$.

Период обращения

• Для круговой орбиты период $T = 2\pi r/v_{\text{circ}} = 2\pi \sqrt{r^3/(G M)}$, отсюда $T^2 \propto r^3$.
• Чем ниже орбита (меньше $r$), тем меньше период $T$.

Энергия на орбите

• Потенциальная энергия $U(r) = - G M m/r$.
• Кинетическая энергия на круговой орбите $K = G M m/(2 r)$.
• Полная энергия $E = K + U = - G M m/(2 r)$ (отрицательна; при увеличении $r$ энергия растёт к нулю).

Эллиптические орбиты (кратко)

• Для эллипса с большой полуосью $a$ справедлива формула виза-вива: $v^2 = G M\,(2/r - 1/a)$.
• В перицентре скорость максимальна, в апоцентре минимальна.

Вторая космическая (для сравнения)

• Скорость убегания с расстояния $r$: $v_{\text{esc}}(r) = \sqrt{2 G M/r} = \sqrt{2}\,v_{\text{circ}}(r)$.
• С поверхности $v_{\text{esc}}(R) \approx 11{,}2\text{–}11{,}3\ \text{км/с}$.

Невесомость на орбите

• На орбите $F_g \ne 0$, но опора отсутствует: вес $P = 0$. Астронавты и спутник находятся в состоянии свободного падения вокруг Земли.

Практические факторы

• Сопротивление атмосферы на низких орбитах вызывает торможение и сход орбиты, требуются коррекции.
• Гравитационные возмущения (несферичность Земли, влияние Луны и Солнца), солнечное давление, аэродинамика — причины постепенных изменений элементов орбиты.

Типичные ошибки

• Подставлять $v_1 = \sqrt{g_0 R}$ для любой высоты; правильно использовать $v_{\text{circ}}(r) = \sqrt{G M/r}$.
• Путать «нет тяжести» и «невесомость»; на орбите невесомость при ненулевой силе тяготения.
• Применять приближение $g \approx \text{const}$ на больших высотах, где нужно учитывать зависимость $g(r) \propto 1/r^2$.

Ключевые формулы

• $v_{\text{circ}}(r) = \sqrt{G M/r}$.
• $v_1 = \sqrt{G M/R} = \sqrt{g_0 R}$.
• $T = 2\pi \sqrt{r^3/(G M)}$.
• $U = - G M m/r$, $K = G M m/(2 r)$, $E = - G M m/(2 r)$.
• $v_{\text{esc}}(r) = \sqrt{2 G M/r}$.