Сила тяжести, сила упругости, сила трения

Сила тяжести и вес

• Сила тяжести у поверхности Земли: $F_g = m g$, направлена вертикально вниз. Типичные величины: $g \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2$ (в задачах часто берут $g = 10$).
• Общий закон тяготения: $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $r$ — расстояние между центрами масс.
• Вес тела на опоре или подвесе — сила, с которой тело действует на опору или подвес. В простейшем случае без вертикального ускорения: $P = N = m g$.
• При ускоренном движении платформы:
• вверх с ускорением $a$: $P = m(g + a)$,
• вниз с ускорением $a$: $P = m(g - a)$,
• свободное падение: $P = 0$ (невесомость).
• На наклонной плоскости с углом $\alpha$ к горизонту:
• нормальная реакция $N = m g \cos\alpha$,
• составляющая тяжести вдоль плоскости $m g \sin\alpha$ (вниз по плоскости).

Сила упругости (закон Гука)

• При деформации пружины в пределах упругости модуль силы упругости пропорционален удлинению: $F_{upr} = k x$, где $k$ — жёсткость пружины, $x$ — удлинение или сжатие. Направление силы упругости — против деформации.
• Единицы: $[k] = \text{Н/м}$. Жёсткость можно найти по наклону графика $F$–$x$.
• Потенциальная энергия пружины: $E_{pr} = \dfrac12 k x^2$. Работа силы упругости при изменении удлинения от $x_1$ до $x_2$: $A = -\dfrac12 k(x_2^2 - x_1^2)$.
• Сочетания пружин:
• последовательно: $\dfrac{1}{k_{eq}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} + \dots$,
• параллельно: $k_{eq} = k_1 + k_2 + \dots$.
• Пределы: при больших деформациях линейность нарушается, закон Гука не выполняется.

Сила трения

3.1 Трение покоя

• До начала скольжения сила трения самонастраивается так, чтобы предотвратить скольжение: $F_{tr} \le \mu_s N$, где $\mu_s$ — коэффициент трения покоя.
• Порог начала скольжения: $F_{tr}^{max} = \mu_s N$. Если требуемая сила больше, начинается скольжение.

3.2 Трение скольжения

• При относительном скольжении модуль силы трения примерно постоянен: $F_{tr} = \mu_k N$, где $\mu_k$ — коэффициент трения скольжения. Направлена против относительного движения.
• Работа трения на пути $s$: $A_{tr} = - F_{tr}\, s = - \mu_k N\, s$.

3.3 На наклонной плоскости с трением

• Вниз по плоскости (скольжение вниз): $a = g(\sin\alpha - \mu_k \cos\alpha)$.
• Вверх по плоскости (тянут вверх силой $F$): учитывайте $N = m g \cos\alpha$ и знак трения против направления движения.
• Угол предельного равновесия (начало сползания без внешней тяги): $\tan\alpha_{pred} = \mu_s$.

3.4 Влияние направления приложенной тяги

• На горизонтали при тяге под углом $\beta$ к горизонту:
• $N = m g - F \sin\beta$ (если тянут вверх, нормаль меньше),
• $F_{tr} = \mu N$,
• вдоль горизонтали для равномерного движения: $F \cos\beta = \mu N$.

3.5 Примечания

• $\mu_s$ обычно больше $\mu_k$.
• Коэффициенты трения безразмерны и подбираются экспериментально.
• Для качения используют модель сопротивления качению (часто как момент сопротивления), в школьных задачах либо пренебрегают, либо задают отдельно.

Сводка формул

• Сила тяжести: $F_g = m g$.
• Вес в лифте: вверх $P = m(g + a)$, вниз $P = m(g - a)$, свободное падение $P = 0$.
• Закон Гука: $F_{upr} = k x$, энергия пружины $E_{pr} = \dfrac12 k x^2$.
• Трение покоя: $F_{tr} \le \mu_s N$, максимум $F_{tr}^{max} = \mu_s N$.
• Трение скольжения: $F_{tr} = \mu_k N$, работа $A_{tr} = - \mu_k N\, s$.
• Наклонная плоскость: $N = m g \cos\alpha$, составляющая тяжести вдоль плоскости $m g \sin\alpha$, ускорение при скольжении вниз $a = g(\sin\alpha - \mu_k \cos\alpha)$.
• Условие начала скольжения без тяги: $\tan\alpha_{pred} = \mu_s$.

Типичные ошибки

• Путать силу тяжести $m g$ и вес $P$; считать, что $P$ всегда равен $m g$ (это не так при ускорении).
• Забывать изменять $N$ при тяге под углом или на наклонной плоскости.
• Ставить трение в неверную сторону: оно всегда против относительного движения или его угрозы.
• Применять $F_{tr} = \mu N$ до начала скольжения без проверки на предел трения покоя $F_{tr}^{max}$.