Гравитационные силы

Закон Ньютона о тяготении

• Две точечные массы $m_1$ и $m_2$, разделённые расстоянием $r$ между центрами, притягиваются силой $F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}.$
• Константа $G \approx 6{,}67\cdot 10^{-11}$ (в СИ: Н·$м^2$/$кг^2$).
• Направление силы — вдоль прямой, соединяющей центры; силы попарны и равны по модулю (третий закон).

Гравитационное поле, напряжённость и потенциал

• Напряжённость поля массы $M$ на расстоянии $r$: $g(r) = \frac{G M}{r^2}\quad \text{(направлена к массе)}.$
• Потенциал: $\varphi(r) = -\,\frac{G M}{r},\qquad \varphi(\infty)=0.$
• Связи: $F = m\,g$, $U = m\,\varphi$, то есть $U(r) = -\,\frac{G M m}{r}.$
• Принцип суперпозиции: $F_{\text{сум}}=\sum F_i$, $g_{\text{сум}}=\sum g_i$, $\varphi_{\text{сум}}=\sum \varphi_i$.

У поверхности Земли и на высоте

• Радиус Земли $R$, масса Земли $M_{\oplus}$. У поверхности: $g_0 = \frac{G M_{\oplus}}{R^2}\ \approx\ 9{,}8\ \text{м/с}^2.$
• На высоте $h$ над поверхностью: $g(h) = \frac{G M_{\oplus}}{(R+h)^2} = g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2.$
• Сила тяжести тела массы $m$: $F_g = m\,g$ (вниз).
• Вес на опоре (без вертикального ускорения): $P = m g_0$.

Работа, энергия, движение в поле тяготения

• Работа сил тяготения при перемещении от $r_1$ к $r_2$: $A = \Delta K = -\,\Delta U = -\Big(U(r_2)-U(r_1)\Big).$
• Полная механическая энергия для круговой орбиты радиуса $r$: $E = K + U = -\,\frac{G M m}{2r}.$

Круговые орбиты (первая космическая скорость)

• Для радиуса орбиты $r$: $v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{G M}{r}},\qquad a_c=\frac{v_{\text{orb}}^2}{r}=\frac{G M}{r^2}.$
• Период обращения: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}\quad \Rightarrow\quad T^2 \propto r^3.$

Вторая космическая (скорость убегания)

• Со поверхности радиуса $R$ без учёта сопротивления: $v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}=\sqrt{2}\,v_{\text{orb}}(R).$

Внутри однородной сферы радиуса $R$

• Масса внутри радиуса $r$: $M(r)=M\,\frac{r^3}{R^3}$.
• Напряжённость внутри: $g(r)=\frac{G M(r)}{r^2}=\frac{G M}{R^3}\,r\quad (0\le r\le R).$ То есть $g$ растёт линейно от центра к поверхности.

Инертная и гравитационная масса

• Инертная масса $m$ определяет отклик на силу: $F = m a$.
• Гравитационная масса участвует в тяготении. Экспериментально $m_{\text{ин}}$ и $m_{\text{грав}}$ эквивалентны, поэтому все тела в пустоте падают с одинаковым $g$.

Размерности и шкалы

• $[G] = \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$, $[g]=\text{м/с}^2$, $[U]=\text{Дж}$, $[\varphi]=\text{Дж/кг}$.

Типичные ошибки

• Подменять силу тяжести $F_g = m g$ весом $P$ в задачах с ускорением платформы.
• Забывать знак у $U(r)=-G M m/r$ и у $\varphi(r)=-G M/r$.
• Применять формулы у поверхности ($g\approx\text{const}$) на больших высотах, где нужно $g(h)$.
• Игнорировать суперпозицию при нескольких источниках поля.