Законы Ньютона

Инерциальные системы отсчёта (ИСО)

ИСО — такие системы, в которых свободное тело сохраняет покой или равномерное прямолинейное движение. В школьных задачах систему, связанную с Землёй, часто считают ИСО (если масштаб задачи небольшой и вращение Земли несущественно).

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Если на тело не действуют силы или их равнодействующая равна нулю, то тело сохраняет состояние покоя или движется прямолинейно и равномерно. Формально: $\sum F = 0 \ \Rightarrow \ v = \text{const}.$

Следствие: существуют инерциальные системы; инерция — свойство тел сохранять скорость без внешнего воздействия.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики)

Ускорение тела пропорционально равнодействующей сил и обратно пропорционально массе: $\sum F = m a.$

По осям: $\sum F_x = m a_x, \quad \sum F_y = m a_y, \quad \sum F_z = m a_z.$ Единица силы: ньютон (Н), $1\ \text{Н} = 1\ \text{кг}\cdot\text{м}/\text{с}^2$. В импульсной форме (удобно при переменной массе): $F = \frac{dp}{dt}, \quad p = m v.$

Третий закон Ньютона (действие и противодействие)

Тела действуют друг на друга попарно: силы одинаковы по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам. $F_{1\to 2} = -\,F_{2\to 1}.$

Эти силы не сокращаются во втором законе, потому что относятся к разным телам.

Основные силы в задачах

• Сила тяжести (у поверхности Земли): $F_g = m g.$
• Вес (сила давления тела на опору): в простых случаях $P \approx m g$; при ускоренном движении может отличаться.
• Сила нормальной реакции опоры: $N$ (перпендикулярно поверхности).
• Сила упругости (пружина, закон Гука): $F_{упр} = k x,$ где $k$ — жёсткость, $x$ — удлинение.
• Сила трения:
• скольжения: $F_{тр} = \mu_k N,$
• покоя (самонастраиваемая): $F_{тр} \le \mu_s N, \quad F_{тр}^{\max} = \mu_s N.$
• Сила натяжения нити: $T$ (в идеальной невесомой нерастяжимой нити одинаковая по длине).
• Аэродинамическое сопротивление: часто моделируют как $F \sim v$ или $F \sim v^2$ (в задачах форму оговаривают отдельно).

Движение по окружности и сила (радиальная динамика)

Центростремительное ускорение: $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r.$

Равнодействующая радиальных сил направлена к центру: $\sum F_{rad} = m \frac{v^2}{r}.$ Пример: на горизонтальной окружности трение или сила натяжения обеспечивает центростремительную силу.

Наклонная плоскость (частая модель)

Разложение $m g$ на составляющие при угле наклона $\alpha$ к горизонту: $m g\sin\alpha \ \text{вдоль плоскости}, \quad m g\cos\alpha \ \text{перпендикулярно плоскости}.$

Без трения: $a = g \sin\alpha, \quad N = m g \cos\alpha.$ С трением скольжения: $F_{тр} = \mu N = \mu m g \cos\alpha, \quad a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha) \ \text{(вниз по плоскости)}.$

Импульс и импульс силы (короткие воздействия)

Импульс тела: $p = m v$. Импульс силы за короткий интервал: $J = F \Delta t = \Delta p.$

Удобно для ударов и быстрых взаимодействий.

Как решать задачи по динамике (алгоритм)

1. Выберите систему отсчёта (по возможности ИСО), задайте оси.
2. Нарисуйте отдельную схему сил для каждого тела (диаграмма: $F_g$, $N$, $T$, $F_{тр}$ и т.д.).
3. Разложите силы по осям, учитывайте знаки.
4. Запишите второй закон по осям: $\sum F_x = m a_x$, $\sum F_y = m a_y$.
5. Добавьте связи: одинаковые ускорения у соединённых тел, неодновременные скорости на блоках, $T$ одинакова в идеальной нити и т.п.
6. Решите систему уравнений, проверьте размерности и знаки.

Ограничения применимости

Законы Ньютона справедливы в инерциальных системах и при невысоких скоростях относительно скорости света. В неинерциальных системах добавляют фиктивные силы (инерции, Кориолиса, центробежную), которые не являются взаимодействиями между телами. При больших скоростях и на очень малых/больших масштабах нужны релятивистская и квантовая теории.

Типичные ошибки

• Путать массу и вес; путать $F_g$ и $N$.
• Неправильно определять направление трения (всегда против относительного скольжения).
• Считать пары третьего закона внутри одного уравнения для одного тела (пара относится к разным телам).
• Забывать про разложение сил на компоненты и про знаки.
• Использовать $F = m a$ при быстро меняющейся массе без формы $F = dp/dt$.